×

On the estimations of some simplest trigonometrical sums involving prime numbers. (Russian. English summary) JFM 65.1159.04

1) Es seien \(\varepsilon\), \(\eta\), \(h\) positive Konstanten, \(N > 2\), \(r=\log \,N\), \(n\) ganz \(\geqq 1\), \(a\) und \(q\) ganz, \(q > 0\), \((a, \,q)=1\), \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\) Konstanten. Für die Summe \[ S=\sum_{N-A<p \leqq N} e^{\frac{2\pi iap^n}{q}}, \] wo \(p\) Primzahlen durchläuft, gibt Verf. in den beiden Fällen
a) \(\eta < \varepsilon \leqq \frac{1}{3}\), \(K_1Ne^{-r^{1-2\varepsilon}}<A \leqq N\), \(0<q \leqq e^{r^{\varepsilon}}\);
b) \(\varepsilon < 1\), \(\eta < 1\), \(h < 1\), \(N^{\frac{2}{3}+h} \,q^{\frac{3}{2}} \leqq A \leqq N\), \(q>e^{r^{\varepsilon}}\)
die Abschätzungen
a) \(|\,S\,|<K_2Ar^{3\varepsilon-1} \,q^{\eta-\frac{1}{2}}; \;\;\) b) \(|\,S\,|<K_3Aq^{\eta-\frac{1}{2}}\).
2) Es sei \(0 < h \leqq \frac{1}{6}\), \(\;\; N > 2\), \(\;\; r=\log \,N\), \(\;\; k\) ganz \(> 0\), \(\;\; \alpha=\dfrac{a}{q}+\dfrac{\theta}{q^2}\), \((a, \,q) = 1\), \(0<q \leqq N\), \(1 \leqq A \leqq N\).
Dann ist (mit \(\lambda = 1 + h\)) \[ \left|\, \sum_{N-A<p \leqq N} e^{2\pi i \alpha kp} \,\right|< K_4Ar^{\frac{\log \,r}{\log \,\lambda}+6} \cdot \sqrt{\frac{kN^{\frac{2+h}{3}}}{A}+\frac{Nq}{A^2}+\frac{k}{q}+\frac{k^4}{q^2}}, \] wo \(K_4\) eine Konstante ist.
3) Weiter gibt Verf. noch zwei Sätze, von denen der erste sich mit der Verteilung mod 1 der Folge \(\alpha \,p\), \(N-A< p \leqq N\), \(p\) prim, beschäftigt. Der zweite Satz beschäftigt sich mit der Verteilung mod \(Q\) der Primzahlen \(p\) mit \(N-A< p \leqq N\).

PDFBibTeX XMLCite