×

zbMATH — the first resource for mathematics

Divisibility properties of integral functions. (English) JFM 66.0105.02
Gegenstand der Arbeit sind die Teilbarkeitseigenschaften im Integritätsbereich der ganzen analytischen Funktionen \(f(z) = \sum a_n z^n\), deren Koeffizienten \(a_n\) fürs erste dem komplexen Zahlkörper angehören und die für ganze Funktionen charakteristische Bedingung lim \(| a_n |^{1/n} = 0\) erfüllen sollen. Einheiten sind die ganzen Funktionen ohne Nullstellen (\(e^{f(z)}\) mit \(f (z)\) ganz), Primelemente diejenigen mit einer einzigen Nullstelle. Jede Funktion läßt sich, wie Verf. beweist, bis auf Einheiten eindeutig als endliches oder unendliches (konvergentes) Produkt ihrer Primfaktoren darstellen. Es existiert daher immer der größte gemeinsame Teiler einer Funktionenfolge, aber, wie das Beispiel \(\sin z, \sin \frac 12 z, \dots, \sin 2^{-n}z,\dots \) zeigt, gibt es unendliche Teilerketten und also gilt auch nicht der Basissatz für die Ideale des Bereiches. Tatsächlich gibt es Ideale mit unendlich vielen Basiselementen, aber jedes Ideal mit endlicher Basis ist notwendig Hauptideal.
Verf. zeigt ferner, daß jede ganze Funktion, deren Potenzreihe Koeffizienten aus dem komplexen Zahlkörper besitzt, durch Multiplikation mit einer passenden Einheit in eine solche mit Koeffizienten aus dem rationalen Zahlkörper \(\mathfrak R\) oder aus \(\mathfrak R (\sqrt{-1})\) übergeführt werden kann, je nachdem ob ihre Nullstellenmenge symmetrisch oder unsymmetrisch zur reellen Achse liegt. Daher gelten die angezeigten Teilbarkeitssätze fast unverändert auch bei dieser starken Einschränkung des Koeffizientenbereiches. Wesentlich andere Verhältnisse ergeben sich erst, wenn man die Einschränkung auf ganze Funktionen endlicher Ordnung macht; dann bleibt z. B., wie Verf. zeigt, ein im gegebenen Zahlkörper irreduzibles Polynom immer auch im Bereich der ganzen Funktionen endlicher Ordnung (mit demselben Koeffizientenkörper) irreduzibel. Weitere Entwicklungen in dieser Richtung werden angekündigt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI