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La théorie du corps de classes. (French) JFM 66.0122.02
Die Arbeit hat sich zur Aufgabe gemacht, den Leser in eine Anzahl neu entwickelter Begriffe einzuführen; sie beruht auf der einen Seite auf Hasse, Klassenkörpertheorie (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 189) -zitiert kurz als Hasse, weiter auf der These des Verf. in J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, I 2 (1933), 365-476 (F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 190), zitiert als These. Herangezogen werden zahlreiche Sätze aus der Arbeit von Krull, Math. Ann., Berlin, 100 (1928), 687-698 (F. d.M. 54, 157) über die Gruppen von algebraischen Körpern unendlichen Grades.
In § 1 wird vom Kompositum aller abelschen Erweiterungen endlichen Grades über einem algebraischen Körper endlichen Grades ausgegangen. Dieses Kompositum \(A_K\) ist also über \(K\) abelsch von unendlichem Grade und besitzt eine Automorphismengruppe \(\mathfrak G_K\), die nur Charaktere endlicher Ordnung hat. Ein solcher Charakter \(\chi\) ruft eine Untergruppe \(\mathfrak H\) in \(\mathfrak G_K\) aller \(s\) in \(\mathfrak G_K\) mit \(\chi (s) = 1\) hervor mit endlicher zyklischer Faktorgruppe \(\mathfrak G_K / \mathfrak H\); der zu \(\mathfrak H\) in \(A_K\) gehörige Körper \(Z_\chi / K\), ist daher über \(K\) zyklisch von endlichem Grade. – Ist \(\varOmega\) eine beliebige Erweiterung endlichen Grades von \(K\), und definieren wir \(\mathfrak G_\varOmega\), \(A_\varOmega\) analog \(\mathfrak G_K\), \(A_K\), so ruft jedes Element \(\bar{s}\) von \(\mathfrak G_\varOmega\) einen Automorphismus \(s\) von \(\mathfrak G_K\) hervor. Durch \(\chi (s) = \bar{\chi} (\bar s)\) können wir einem Charakter \(\chi\) von \(\mathfrak G_K\) einen Charakter \(\bar{\chi}\) von \(\mathfrak G_\varOmega\) zuordnen. Verf. schreibt \(\bar{\chi} = N_{K/\varOmega}\chi\).
§ 2 behandelt die Gruppe der Idele (idèles). Wir denken uns in \(K\) alle endlichen und unendlichen Primstellen wohlgeordnet. Erweitern wir durch \(\mathfrak p\)-adische Bewertung den Körper \(K\) zu den Körpern \(K_{\mathfrak p}\), deren multiplikative Gruppe mit \(K_{\mathfrak p}^*\) und deren Einheitengruppe mit \(U_{\mathfrak p}\) bezeichnet werde, so bezeichnen wir als Idel einen Vektor mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten, die jeweils zu den Primstellen \({\mathfrak p}\) zugeordnet, Zahlen (\(\not = 0\)) aus \(K_{\mathfrak p}^*\) und fast alle aus dem betreffenden \(U_{\mathfrak p}\) sind. Die Multiplikation von Idelen erfolgt durch Multiplikation der Koordinaten. Die Idele mit lauter gleichen Koordinaten \(\alpha \in K\) heißen Hauptidele, die mit lauter Koordinaten 1 außer der für ein bestimmtes \({\mathfrak p}\), wo die Koordinate mit der eines gegebenen Idels \({\mathfrak a}\) zusammenfällt, die \({\mathfrak p}\)-Komponenten von \({\mathfrak a}\); Verf. bezeichnet sie mit \(\mathfrak a_{\mathfrak p}\). Die Idele bilden bezüglich Multiplikation eine Gruppe \(J_K\), die Hauptidele die Untergruppe \(P_K\), und mit entsprechender Abstraktion kann man letztere den Zahlen von \(K\), ebenso die \({\mathfrak p}\)-Komponenten den \({\mathfrak p}\)-Koordinaten gleichsetzen. \(E\) sei eine Menge von Primstellen, darunter alle unendlichen, \(J_K^E\) die Gruppe aller Idele, deren \({\mathfrak p}\)-Komponenten für \({\mathfrak p}\) nicht in \(E\) nach \(U_{\mathfrak p}\) fallen; dann ist \(J_K/ J_K^E\) endlich, und durch Aufnahme endlich vieler endlicher Primstellen in die Menge \(E\) kann man erreichen, daß \(J^E_KP_K = J_ K\) ist.
In § 4 definiert Verf. ein Differential als einen Charakter \(\varphi\) von \(J_K\), der für alle Elemente von \(P_K\) gleich 1 ist. Ist \(\varOmega \supset K\) von endlichem Grade, so bezeichnet Verf. ein Differential \(\varphi_\varOmega\) in \(\varOmega\), das durch \(\varphi_\varOmega (\mathfrak A) = \varphi (N_{\varOmega /K}\mathfrak A\) für ein beliebiges \(\mathfrak A\) aus \(J_\varOmega\) durch ein Differential \(\varphi\) von \(K\) definiert wird, als \(N_{K/ \varOmega}\varphi\). Ein Differential von \(K\) bewirkt in \(K_{\mathfrak p}\) einen Charakter \(\varphi_{\mathfrak p}\), der die \({\mathfrak p}\)-Komponente von \(\varphi\) heißt. Ist \(\varphi _{\mathfrak p}\) nicht für alle Elemente von \(U_{\mathfrak p}\) gleich 1, so heißt \(\varphi\) in \({\mathfrak p}\) verzweigt. Ist \(\varphi_{\mathfrak p} = 1\) mit Ausnahme eines einzigen \({\mathfrak p}\), so heißt \(\varphi\) ein lokaler Charakter.
In § 5 wird der folgende Beweisgang kurz umrissen: Hauptaufgabe ist der Nachweis einer 1-Isomorphie zwischen der Gruppe der Charaktere und der Gruppe der Differentiale.
Hierzu wird in § 6 für zyklisches \(Z/K\) die Formel für den Gruppenindex (links) und den Körpergrad (rechts) \[ [K_{\mathfrak p}^* : K_{\mathfrak p}^* \frown N_{Z/K}J_Z] = [ZK_{\mathfrak p} : K_{\mathfrak p}] \] (\(\frown \) Durchschnittsbildung) bewiesen. Bei diesem Beweis sowie in § 7 spielt das Herbrandsche Reduktionsprinzip (vgl. Hasse, 130) eine Hauptrolle. § 7 beweist, daß für \([Z : K] = n\) die Zahl der \(Z/K\) assoziierten Differentiale, d. h. der Differentiale von \(K\), die für die Idelnormen von \(Z/K\) gleich 1 sind, durch \(n\) teilbar ist. Ist \(E\) eine Menge von \(s + 1\) Primstellen des Körpers \(K\), darunter allen unendlichen, \(J_K^E\) dieselbe Idelmenge wie früher, \(J_K^{E_n}\) die Teilmenge von \(J_K^E\) mit \(n\)-ten Potenzen von Zahlen aus \(K_{\mathfrak p}\) für alle \({\mathfrak p}\) aus \(E\) als \({\mathfrak p}\)-Koordinaten, so zeigt § 8, daß der Index \([J_K^E : J_K^{E_n}] = n^{2(s+1)}\) ist. § 9 zeigt dann, daß die in § 7 genannte Zahl ein Teiler von \(n\) ist, also mit \(n\) zusammenfällt. Die folgenden Paragraphen entsprechen in wesentlichen Teilen der These des Verf.
Der Hauptfortschritt liegt gegenüber der These in der außerordentlich weitgehenden rein abstrakten Fassung des Idelbegriffs, sowie in der restlosen Ausschaltung aller transzendenten Hilfsmittel, die ja mit der Klassenkörpertheorie im Kleinen, gefühlsmäßig betrachtet, nichts zu tun haben. Sogar Hilfssätze, wie daß es bei zyklischem \(Z/K\) in \(K\) stets unendlich viele Primideale gibt, die beim Übergang zu \(Z\) Primideale bleiben, werden durch geschickte Verwendung des Idelbegriffs ohne transzendente Hilfsmittel bewiesen.
Eine hochinteressante Arbeit von sehr großer Tragweite, die höchste Beachtung verdient.

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