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Modulartige lückenlose Ausfüllung des \(R_n\) mit kongruenten Würfeln. I. (German) JFM 66.0180.01
Unter einem “Würfel” \(W\): \(a^1\), \(a^2\), …, \(a^n\) im \(n\)-dimensionalen Raume \(R_n\) verstehen wir die Menge aller Punkte \((x^1, \ldots, x^n)\) mit \(- \frac 12 \leqq x^i-a^i<\frac 12\) (\(i=1\), …, \(n\); die oberen Indizes bedeuten stets Koordinatennummern). Unter einer lückenlosen modulartigen Ausfüllung des \(R_n\) (kurz Ausf. des \(R_n\)) versteht man eine Würfelmenge \(\mathfrak M\), welche folgende Eigenschaften hat: 1) Gehören zwei Würfel \(a^1\), …, \(a^n\); \(b^1\), …, \(b^n\) zu \(\mathfrak M\), so gehört auch der Würfel \(a^1-b^1\), …, \(a^n-b^n\) zu \(\mathfrak M\). 2) Jeder Punkt von \(R_n\) liegt in genau einem Würfel aus \(\mathfrak M\). Minkowski hat vermutet und für \(n=2\), 3 bewiesen: In jeder Ausf. des \(R_n\) gibt es \(n\) Würfel \[ W_k:a_k^1, \ldots, a_k^n \quad (k=1, \ldots,n) \tag{1} \] mit folgender Eigenschaft: nach geeigneter Umnumerierung der Koordinaten ist \(a_i^i=1\), \(a_k^i=0\) für \(k>i\). Verf. beweist diese Vermutung für \(n\leqq 8\) folgendermaßen. In jeder Ausf. des \(R_n\) gibt es \(n\) eindeutig bestimmte Würfel (1) mit \(a_i^i=1\), \(0\leqq a_i^k<1\) (\(i\neq k\)); diese Würfel sollen die Grundfigur der Ausf. heißen. Jedes Produkt \[ a_{\lambda_1}^{\lambda_2}a_{\lambda_2}^{\lambda_3} \cdots a_{\lambda_{r-1}}^{\lambda_r}a_{\lambda_r}^{\lambda_1} \quad (\lambda_i\neq \lambda_k \quad \text{für} \quad i\neq k, \quad 2\leqq r\leqq n) \] soll ein \(r\)-gliedriger Zyklus der Grundfigur heißen. Verf. zeigt nun, daß sich die Minkowskische Vermutung auch folgendermaßen aussprechen läßt: Bei jeder Ausf. des \(R_n\) sind alle Zyklen der Grundfigur gleich Null. Dann beweist Verf. eine Reihe allgemeiner Sätze, z. B.: Es sei eine Ausf. des \(R_n\), also auch ihre Grundfigur, gegeben. 1) Dann sind alle zweigliedrigen Zyklen gleich Null. 2) Sind alle Zyklen mit höchstens \(n-3\) (oder \(n-2\) oder \(n-1\)) Gliedern gleich Null, so sind überhaupt alle Zyklen gleich Null (wobei \(n\geqq 5\) bzw. \(n \geqq 4\) bzw. \(n \geqq 3\) vorausgesetzt wird). Daraus folgt sofort die Richtigkeit der Minkowskischen Vermutung für \(n \leqq 5\). Die Fälle \(n = 6\), 7, 8 erfordern noch weitere Untersuchungen, die für \(n=8\) schon recht kompliziert sind. Die Beweise sind rein arithmetisch und elementar.
Verf. hat kürzlich zwei Arbeiten (s. die vorstehende Besprechung) einer allgemeineren Kellerschen Vermutung (J. reine angew. Math. 177 (1937), 61-64; JFM 63.0585.*) gewidmet, aus deren Richtigkeit diejenige der Minkowskischen Vermutung folgt, und die Kellersche Vermutung für \(n\leqq 6\) bewiesen; in der ersten Arbeit (S. 5) findet man auch eine Zusammenstellung der betreffenden Literatur und ihre Kritik.

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References:
[1] Math. Zeitschr.46 (1940), S. 1-26 und 161-180; die beiden Arbeiten werden im folgenden mit I und II zitiert.
[2] ?ber die Literatur vgl. man die Einleitung von I.
[3] Vgl. I, Satz 5. Dort steht f?r diev der zweiten Klassec v +1 an Stelle vonc v .
[4] Vgl. I, Satz 9.
[5] Es sind abz?hlbar unendlich viele (vgl. I, Satz 3); aber das ist hier gar nicht wesentlich.
[6] Vgl. die ausf?brlichere Begr?ndung in dem analogen Fall der W?rfel (6.7), (6.8), (6.9) auf S. 434.
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