Giraud, G. Sur quelques questions relatives aux intégrales convergentes et aux intégrales divergentes. (French) JFM 66.0230.02 J. Math. pur. appl., Paris, (9) 19, 133-142 (1940). Es werden folgende Sätze aufgestellt: I. Vor. Es sei \(\varphi(x)\) positiv, wachsend und nicht beschränkt für \(x > 0\). Beh. Es gibt positive Funktionen \(f(x)\), \(g(x)\) von folgender Beschaffenheit: \(g(x)\leqq\varphi(x) f(x)\); es sind \(f(x)\) und \(f(x) : g(x)\) abnehmend; \(\int\limits_1^\infty f(t)dt\) existiert, nicht aber \(\int\limits_1^\infty g(t) dt\); schließlich gilt: entweder \(f(x)\cdot x^\nu\) ist abnehmend bei vorgegebenem \(\nu\) mit \(0 < \nu < 1\) oder \(g(x)\) ist abnehmend oder \(g(x) x^h\) ist abnehmend und \(f(x) x^k\) wachsend bei vorgegebenen \(h\), \(k\) mit \(0 < h< 1 < k\), zugleich sind \(f(x)\) und \(g (x)\) \(p\)-mal differenzierbar (bei vorgegebenem \(p\)) derart, daß \(g^{(n)}:f^{(n)}\) und \((- x)^n f^{(n)}\cdot x^k\) positiv sind und wachsen, während \((- x)^ng^{(n)}\cdot x^h\) abnimmt (\(n\leqq p\)).Auf folgende Verallgemeinerung wird hingewiesen: Man führe statt \(x\) eine neue Variable \(y\) ein gemäß \(y = \omega (x)\), wo \(\omega (x)\) gegeben, positiv und unbeschränkt wachsend ist, ferner stetige Ableitungen bis zur Ordnung \(p\) einschließlich besitzt, wobei die 1. Ableitung abnimmt. Man konstruiere \(f\) und \(g\) wie oben bezüglich \(y\) und gehe alsdann zu \(x\) zurück. So ergeben sich modifizierte Sätze, in welche \(\omega\) usw. eingeht. Wesentliches Hilfsmittel für die Beweise sind Mittelbildungen \[ \mathfrak M(f;x;q)=\frac1{\varGamma(q)\psi(x)}\int\limits_0^x f(t)\log^{q-1}\frac{\psi(x)}{\psi(t)}d\psi(t),\quad q>0, \quad x>0, \] wobei \(\psi (x)\) eine geeignete wachsende Funktion ist mit \(\psi(0) = 0\).II. Es sei \(\varPhi(x)\geqq 0\) für \(x>0\) und \(\varPhi(x)\to 0\) für \(x\to+\infty\); ferner sei \(\varPhi(x)\) unterhalb stetig. Unter allen konvexen Funktionen \(F(x)\) mit \(F (x)\leqq\varPhi(x)\) gibt es eine “größte”. (Ohne Beweis.) Reviewer: Haupt, O., Prof. (Erlangen) JFM Section:Erster Halbband. D. Analysis. 3. Differentiation und Integration reeller Funktionen. b) Maßtheorie. Integrations- und Ableitungsbegriff. PDFBibTeX XMLCite \textit{G. Giraud}, J. Math. Pures Appl. (9) 19, 133--142 (1940; JFM 66.0230.02)