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Sur l’interpolation. (French) JFM 66.0271.03

In dem Intervall \((a, b)\) seien die Punkte \(x^{(k)}_i\) (\(0 \leqq i \leqq k < \infty\)) gegeben, die in einem dreieckigen Schema angeordnet werden können. Betrachtet werde eine gewisse Funktionenklasse, für die \(E_m\) die beste Annäherung durch Polynome vom Grad \(m\) bezeichne. Es soll entschieden werden, ob die Kenntnis der Funktionswerte einer Funktion der betrachteten Klasse in den Punkten z. B. der \(m\)-ten Reihe \(x^{(m)}_0,\, x^{(m)}_1,\, \ldots,\, x^{(m)}_m\) des Schemas ausreicht, um in \((a, b)\) die Funktion mit der besten Annäherung \(E_m\) zu bestimmen. Die Antwort ist bejahend, wie die folgenden Sätze zeigen, die Verf. unter anderen bei Benutzung spezieller Extremalfunktionen erhalten hat:
1) Zu jedem \(m\) läßt sich eine Polynomfolge \(P^{(m)}_0(x),\, P^{(m)}_1(x),\,\ldots,\, P^{(m)}_m (x)\) höchstens vom Grad \(m\) so bestimmen, daß für jede stetige Funktion \(f (x)\) das Polynom \( f\left(x^{(m)}_0\right) P^{(m)}_0 (x) + f\left(x^{(m)}_1\right) P^{(m)}_1 (x) +\cdots+ f\left(x^{(m)}_m\right) P^{(m)}_m (x) \) von \(f (x)\) um weniger als \(5\omega(\varLambda_m)\) in \((a, b)\) abweicht, wo \(\omega\) den Stetigkeitsmodul von \(f (x)\) und \(\varLambda_m\) die größte der Längen der aus \((a, b)\) durch die Punkte \(x^{(m)}_0,\, x^{(m)}_1,\,\ldots,\, x^{(m)}_m\) entstehenden \(m + 2\) Intervalle ist.
2) Zu jedem \(m\) gibt es \(m + 1\) Polynome \(\varPi^{(m)}_0(x),\, \varPi^{(m)}_1(x),\,\ldots,\, \varPi^{(m)}_m(x)\) von höchstens \(m\)-tem Grad, so daß in \((a, b)\) die Ungleichung gilt \[ \left|f(x)-\sum_{i=0}^mf\left(a+i\frac{b-a}m\right) \varPi^{(m)}_i(x)\right| <2\omega\left(\frac{b-a}m\right). \]

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