×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen. (German) JFM 66.0325.05
Verf. schließt an seine Arbeiten Math. Ann., Berlin, 111 (1935), 638-677; 113 (1936), 242-291 (JFM 61.0407.*; 62\(_{\text{II}}\), 1224) an und untersucht die Lösungen des Differentialsystems, dem die ganze Funktion \[ \varGamma_2(\beta,\beta',x,y) = \sum\dfrac{(\beta,n-m)(\beta',n-m)}{(1,m)(1,n)}x^my^n\quad (\beta+\beta'\neq 0) \] genügt, und welches \(x = 0\), \(y = 0\) zu singulären Linien der Bestimmtheit, \(x = \infty\) und \(y = \infty\) aber zu singulären Linien der Unbestimmtheit hat, nunmehr bei Annäherung an eine der letzteren. Für \(x\to\infty\) bei beschränkten Werten \(|y|\) und \(\dfrac{1}{|y|}\) kommen z.B. Darstellungen der Gestalt \(e^{2\sqrt{xy}}x^\varrho y^\sigma\mathfrak{P}(x^{-\frac{1}{2}};y)\); hierbei bedeutet \(\mathfrak{P}\) eine gewöhnliche Potenzreihe in dem ersten der Argumente, die (gleichmäßig hinsichtlich \(y\)) für \(x\to\infty\) eine Funktion asymptotisch darstellt. Auch die Annäherung an den Schnittpunkt \(x = y =\infty\) der beiden singulären Linien wird (wenigstens für reelle \(x, y\)) längs einer Geraden \(x = at\), \(y=bt\) vermittels Reihen ähnlicher Art untersucht; schließlich auch noch die Annäherung an \(x = \infty\), \(y = 0\) längs einer Hyperbel \(x = at\), \(y = \dfrac{1}{bt}\). Die Verhältnisse werden komplizierter als bei der Funktion \(\varPhi_2(\beta, \beta', \gamma, x, y)\) (vgl. Mh. Math. Physik 47 (1938), 186-194; JFM 64.0336.*; insbesondere § 6) an der nämlichen Stelle. Schließlich wird noch eine andere, bereits Math. Ann. 113 untersuchte hypergeometrische Funktion mit den jetzigen Methoden behandelt, wobei sich verschiedene Ergänzungen und Berichtigungen ergeben.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Siehe die Zitate Math. Annalen111, S. 638.
[2] Diese Arbeit wird mit M. zitiert.
[3] Math. Annalen105 (1931), S. 384, 390, 397.
[4] Diese Arbeit wird mit A. zitiert.
[5] Beweis dieser Behauptung im Nachtrag.
[6] Wie fr?her kann der reelle Teil vonr positiv vorausgesetzt werden.
[7] Wir stellen uns die Ver?nderlichenx, y als reell vor.
[8] Von der A., S. 661 vorgenommenen Transformation der abh?ngigen Ver?nderlichen sehen wir hier ab.
[9] Vgl. M., ? 8.
[10] Wir stellen uns die Ver?nderlichenx, y als reell vor.
[11] Diese Arbeit wird mit B. bezeichnet.
[12] Vgl. ? 3.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.