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Gap and density theorems. (English) JFM 66.0332.01
Kap. 1, 2 betreffen die Abgeschlossenheit der Funktionenfolgen \(\{e^{i\lambda_nx}\}\) für Funktionen \(f(x)\in L^p\) (vgl. Verf., Proc. Cambridge philos. Soc. 31 (1935), 335-346; Duke math. J. 2 (1936), 511-516; JFM 61.0268.*; 62\(_{\text{I}}\), 277). Dafür werden die Nullstellen ganzer Funktionen der Form \(\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)e^{ixt}dt\) betrachtet. Kap. 3 enthält zum Beweis der Aussagen von Kap. 1, 2 benötigte Sätze über den Zusammenhang der Nullstellenverteilung einer ganzen Funktion vom Exponentialtyp mit den Wachstumseigenschaften auf der reellen Achse. Kap. 4 behandelt nicht-harmonische Fourierreihen (Verf., Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 919-936; JFM 62.0279.*), d. h. Reihen \(\sum a_ne^{2\pi i\lambda_nx}\) mit \(|\lambda_n - n|\leqq D\) mit genügend kleinen \(D\), so daß gewisse Eigenschaften der Fourierreihen erhalten bleiben. Kap. 5 gibt Sätze über das Verschwinden der Fouriertransformierten (Verf., Proc. London math. Soc. (2) 41 (1936), 393-407; J. Math. Phys., Massachusetts, 16 (1938), 185-190; JFM 62.0278.*; 64\(_{\text{I}}\), 392). Kap. 6 enthält Abschätzungen für das Wachstum einer ganzen Funktion vom Exponentialtyp, deren Nullstellen eine Dichte besitzen. In Kap. 7 werden die Ergebnisse der Kap. 5 und 6 verknüpft; Satz von Bernstein (vgl. Verf., Trans. Amer. math. Soc. 43 (1938), 240-257; JFM 64.0244.*). In Kap. 8, 9 wird als neues Ergebnis gezeigt, daß die in Kap. 7 erhaltenen Abschätzungen die bestmöglichen sind. Kap. 10 gibt im wesentlichen die Arbeit des Verf. über Taubersche Lückensätze (Proc. London math. Soc. (2) 44 (1938), 289-306; JFM 64.0179.*) wieder, deren Ergebnisse in den Kap. 11, 12 ausgedehnt werden unter Benutzung allgemeiner Kerne.
Besprechung: R. P. Boas, jr., Bull. Amer. math. Soc. 47 (1941), 542-547.