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Quelques résultats quantitatifs de théorie analytique des polynomes. (French) JFM 66.0357.02

Verf. betrachtet Funktionen der Form \(f(z)={\sum\limits_{i=1}^{n}}a_i(z - z_i)^{-m-1}\). Mit Hilfe einer eleganten Determinantenrechnung zeigt er, daß, falls die Konstanten \(z_i\) der Bedingung \(|z_i|\leqq1\) genügen, von den \((m+1)(n - 1)\) Wurzeln der Gleichung \(f(z) = 0\) wenigstens \(N = m (n - 1)\) im Kreise \(|z|\leqq r_N\) liegen, wobei die Zahl \(r_N\) von der besonderen Wahl der Konstanten \(a_i\) und von der Lage der Pole im Einheitskreise völlig unabhängig ist. Dabei erhält er für \(r_N\) die Abschätzung \[ r_N\leqq2^{\tfrac1{n(m+n)}} : \left(2^{\tfrac1{n(m+n)}}-1\right). \] Es werde weiter angenommen, daß \(q\) Pole \(z_i\) im Kreise \(|z|\leqq1\) liegen (\(2\leqq q\leqq n\)). Dann gibt es ein \(r_1\), so daß wenigstens eine Nullstelle von \(f(z)\) im Kreise \(|z|\leqq r_1\) liegt. Verf. findet \(r_1\leqq 8(n-q+1) (n-1) : (q - 1)\). Schließlich wird ein verwandtes Problem in bezug auf die Funktion \((x - \alpha)^n(x -\beta)^{-n+2}(x^2- 1)^{-1}\) gelöst.
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