Zaremba, S. C. Sur une question relative aux intégrales premières des systèmes d’équations différentielles. (French) JFM 66.0394.01 J. Math. pur. appl., Paris, (9) 19, 411-426 (1940). Gegeben sei das System \[ \frac{dx_i}{dt}=A_i(x_1,\dots,x_n),\quad(i=1,\dots,n) \tag{1} \] in dem die \(A_i\) mit ihren partiellen ersten Ableitungen in einer offenen \(n\)-dimensionalen Menge \(\varOmega\) stetig sind, und für die \({\sum\limits_{i=1}^{n}}A_i^2>0\) ist. Dann existieren in einer hinreichend kleinen Umgebung \(\overline{\omega}\) jedes Punktes von \(\varOmega\) \(n-1\) unabhängige erste Integrale der Gleichung \[ {\sum\limits_{i=1}^{n}}A_i\,\dfrac{\partial w}{\partial x_i}=0 \tag{2} \] d. h. es existieren \(n - 1\) Funktionen \(f_1\),…, \(f_{n-1}\), für die die Matrix \(\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_k}\right)\) in jedem Punkt von \(\overline{\omega}\) den Rang \(n - 1\) besitzt, und die \(f_i\) sind konstant längs jeder Integralkurve des Systems (1), die in \(\overline{\omega}\) verläuft.E. Kamke (Jber. Deutsche Math.-Verein. 44 (1934), 156-161; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1115) hat im großen die Frage gelöst, wenn eine der Funktionen \(A_i\) konstant und von Null verschieden ist.T. Ważewski (Mathematica, Cluj, 8 (1935), 103-116; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 410) hat durch ein Beispiel, das \(\varOmega\) als einfach zusammenhängend voraussetzt, gezeigt, daß es nicht immer ein Hauptsystem von \(n - 1\) unabhängigen Integralen von (2) in einer offenen Menge \(\omega\) gibt, die beschränkt und in \(\varOmega\) enthalten ist. In einer folgenden Arbeit (Ann. Soc. Polonaise Math. 16 (1938), 145-161; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 1152) hat er untersucht, ob die Zahl der unabhängigen Hauptintegrale von (2) sich erniedrigt, wenn man voraussetzt, daß in \(\omega\) eine geschlossene Integralkurve des Systems (1) liegt.Verf. zeigt, daß die Frage von Ważewski zu verneinen ist, er konstruiert nämlich zwei Funktionen \(F_i(x_1,x_2,x_3)\) (\(i = 1\), 2), die mit ihren partiellen ersten Ableitungen in einem offenen einfach zusammenhängenden Gebiet \(\varOmega\) stetig sind, für die die Matrix \(\left(\dfrac{\partial F_i}{\partial x_k}\right)\) in jedem Punkt von \(\varOmega\) den Rang 2 hat, und die längs einer unendlichen Menge geschlossener Kurven in \(\varOmega\) simultan konstant sind. Von \(F_1\) und \(F_2\) geht man zum System (1) über, indem man aus den beiden Gleichungen \(F_1(x_1,x_2,x_3)=\text{const}\), \(F_2(x_1,x_2,x_3)=\text{const}\) die Konstanten eliminiert. Reviewer: Sansone, G., Prof. (Florenz) JFM Section:Erster Halbband. D. Analysis. 10. Gewöhnliche Differentialgleichungen. a) Allgemeine Theorie. PDFBibTeX XMLCite \textit{S. C. Zaremba}, J. Math. Pures Appl. (9) 19, 411--426 (1940; JFM 66.0394.01)