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On drawings composed of uniform straight lines. (English) JFM 66.0488.01

Wird auf einem weißen Blatt eine Schar von Geraden mit Bleistift gezogen, so setzt sich auf dem Flächenteilchen \(dA\) eine Bleimenge \(FdA\) ab, wo \(F\) eine Dichtefunktion darstellt. Weiter läßt sich die auf \(dA\) durch Geraden, deren Neigungswinkel zwischen \(\varphi\) und \(\varphi + d\varphi\) liegt, abgesetzte Bleimenge durch \(f\,d\varphi\, d A\) ausdrücken, wo \(f\) eine Verteilungsfunktion darstellt. Es besteht die Beziehung \(F = \int\limits_0^{2\pi} f\, d\varphi\). Beschreibt man die Punkte der Ebene durch ihre Polarkoordinaten \((r, \theta)\) und eine Gerade durch den Punkt \((r, \theta)\) vermittels ihres Neigungswinkels \(\varphi\) und ihres Abstandes \(s = r\sin(\varphi - \theta)\) vom Nullpunkt, so gilt die Gleichung \[ F(r,\theta)=\int\limits_0^{2\pi} f(r\sin(\varphi - \theta),\varphi)\,d\varphi. \] Die Frage, ob eine vorgelegte Zeichnung mit der Bleistärke \(F\) durch eine Schar von Geraden realisiert werden kann, läuft auf die Auflösung dieser Integralgleichung nach \(f\) hinaus. Verf. reduziert das Problem zunächst auf mannigfache Weise, löst dann erst den Fall der zentrischen Symmetrie und weiterhin den allgemeinen Fall, wobei die bekannte Lösung der klassischen Abelschen Integralgleichung das hauptsächliche Hilfsmittel ist.
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