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Équations de Fredholm dont le noyau est fonction holomorphe d’un paramètre: équations analogues où figurent des intégrales principales. (French) JFM 66.0493.01

Betrachtet werden die lineare Operation \[ I_\lambda u (X) = u(X)-\int G (X, A ; \lambda) u (A)\, dV_A \] und die dazu assoziierte \[ K_\lambda v(\varXi) = v (\varXi) - \int v (A) G (A, \varXi; \lambda)\, dV_A, \] wo die Integrale über einen \(m\)-dimensionalen Bereich \(\mathfrak B\) zu erstrecken sind; \(G\) sei analytisch in \(\lambda\) in einem Gebiet \(D\) und genüge gewissen Bedingungen, die die Anwendung der Fredholmschen Theorie ermöglichen (vgl. Bull. Sci. math. (2) 61 (1937); 172-192, 200-208, 288; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 397). Die Minimalzahl der linear unabhängigen Lösungen von \(I_\lambda u= 0\) in \(D\) sei \(k \); \(\lambda_0\) sei ein beliebiger Punkt von \(D\). Ist \(k = 0\), so existiert eine Resolvente (lösender Kern) im üblichen Sinn. Ist \(k > 0\), so definiert Verf. eine Resolvente im erweiterten Sinn in folgender Weise: Man kann \(k\) Funktionen \(u_\beta(X;\lambda)\) (\(\beta = 1,\,\ldots,\, k\)) als linear unabhängige Lösungen von \(I_\lambda u = 0 \) und \(k\) weitere Funktionen \(\varrho_\beta(X; \lambda)\) finden, die alle in der \(\lambda\)-Umgebung von \(\lambda_0\) analytisch von \(\lambda\) abhängen, und für die (auch mit \(\gamma = 1,\,\ldots,\, k\)) gilt \[ (\beta-\gamma)\int u_\gamma \varrho_\beta\, dV = 0, \quad \int u_\beta \varrho_\beta\, dV = 1. \]
Für \(K_\lambda\) mögen \(v_\beta(X;\lambda)\) und \(\sigma_\beta(X;\lambda)\) die entsprechende Bedeutung haben. Dann bestimmen die \(k + 1\) Bedingungen \[ \begin{gathered} G(X, \varXi; \lambda) + K_\lambda N(X, \varXi; \lambda) =\sum_\beta u_\beta(X; \lambda) \varrho_\beta(\varXi, \lambda), \\ \sigma_\beta(X; \lambda) = \int N(X, A; \lambda) \sigma_\beta(A; \lambda)\, dV_A \end{gathered} \] eine und nur eine Resolvente \(N\) und ziehen die Bedingungen \[ \begin{gathered} G(X, \varXi; \lambda) + I_\lambda N(X, \varXi;\lambda) =\sum_\beta \sigma_\beta(X;\lambda) v_\beta(\varXi; \lambda), \\ \varrho_\beta(\varXi;\lambda)=\int \varrho_\beta(A;\lambda) N(A,\varXi;\lambda)\,dV_A \end{gathered} \] nach sich. \(N\) ist meromorph, und seine Pole hängen von \(X\) und \(\varXi\) nicht ab. Ist \(\lambda\) kein Pol von \(N\), so ist natürlich jede Lösung von \(I_\lambda u = 0\) eine Linearkombination der \(u_\beta (X; \lambda)\); ist \(\lambda\) ein Pol, so hat die Gleichung \(I_\lambda u = 0\) mehr als \(k\) linear unabhängige Lösungen.
Die Aussagen lassen sich sinngemäß übertragen auf die lineare Operation \[ I_\lambda u(X) = g(X; \lambda) u(X) - \int G(X,A; \lambda)u(A)\, dV_A, \] wo die Minimalanzahlen der linear unabhängigen Lösungen von \(I_\lambda u = 0\) und \(K_\lambda v = 0\) verschieden sind.

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