×

Conditions d’existence de systèmes d’événements associés à certaines probabilités. (French) JFM 66.0603.04

Grundlegende wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen umkehrend sucht Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz mindestens eines Systems von zufälligen, bei ein und derselben Klasse von Versuchen sich ergebenden Ereignissen \(A_1,\ldots, A_m\) so, daß gegebene reelle Zahlen \(z_i\) oder \(z_{\alpha\ldots\lambda}\) von entsprechender Anzahl die Wahrscheinlichkeiten: 1. \(p_{[\alpha\ldots\lambda]}\) des Zutreffens von \(A_\alpha,\ldots, A_\lambda\) und des Nichtzutreffens der übrigen \(A_k\), 2. \(p_{\alpha\ldots\lambda}\) des Zutreffens von \(A_\alpha,\ldots,A_\lambda\), 3. \(P_{[r]} = \sum p_{[j_1\ldots j_r]}\) des Zutreffens von genau \(r\) bzw. 4. \(P_r=\sum\limits_{k=1}^m P_{[k]}\) des Zutreffens von mindestens \(r\) Ereignissen unter \(A_1,\ldots, A_m\) und schließlich 5. die Zahlen \(S_r= \sum p_{j_1\ldots j_r}\) darstellen sollen. Hierbei bedeutet \(j_1\ldots j_r\) eine Kombination \(r\)-ter Ordnung der \(m\) ersten natürlichen Zahlen.
Als Bedingungen ergeben sich hierfür im 1. und 3. Fall \(z_i \geqq 0\) und \(\sum z_i = 1\) für die als \(p_{[\alpha\ldots\lambda]}\) bzw. \(P_{[r]}\) zu geltenden gegebenen Zahlen \(z_i\); bei 4. \(1 = z_0\geqq z_1\geqq \cdots\geqq z_m\geqq 0\) für \(z_k = P_k\); bei 5. \[ z_k-\binom{k+1}1z_{k+1}+\cdots+(-1)^{m-k}\binom m{m-k}z_m\geqq 0 \] mit \(k = 0, 1,\ldots, m\) und \(z_0 = 1\) für \(z_k = S_k\); schließlich bei 2. \[ \begin{split} z_{\alpha_1\ldots\alpha_r}\sum_{\beta_{r+1}}z_{\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}}+\cdots+(-1)^s \sum_{\beta_{r+1}\ldots\beta_{r+s}} z_{\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}\ldots\beta_{r+s}}+\cdots\\ +(-1)^{m-r}z_{12\ldots m}\geqq 0 \end{split} \] mit jeder ganzen Zahl \(0\leqq r\leqq m\) und allen Kombinationen \(\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}\ldots\beta_m\) der ersten \(m\) natürlichen Zahlen für \(z_{\alpha_1\ldots\alpha_r}=p_{\alpha_1\ldots\alpha_r}\).
In allen Fällen wird auch die Frage der ein- oder mehrfachen Existenz von Ereignissystemen \(A_1,\ldots, A_m\) eingehend behandelt.
PDFBibTeX XMLCite