Fréchet, M. Conditions d’existence de systèmes d’événements associés à certaines probabilités. (French) JFM 66.0603.04 J. Math. pur. appl., Paris, (9) 19, 51-62 (1940). Grundlegende wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen umkehrend sucht Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz mindestens eines Systems von zufälligen, bei ein und derselben Klasse von Versuchen sich ergebenden Ereignissen \(A_1,\ldots, A_m\) so, daß gegebene reelle Zahlen \(z_i\) oder \(z_{\alpha\ldots\lambda}\) von entsprechender Anzahl die Wahrscheinlichkeiten: 1. \(p_{[\alpha\ldots\lambda]}\) des Zutreffens von \(A_\alpha,\ldots, A_\lambda\) und des Nichtzutreffens der übrigen \(A_k\), 2. \(p_{\alpha\ldots\lambda}\) des Zutreffens von \(A_\alpha,\ldots,A_\lambda\), 3. \(P_{[r]} = \sum p_{[j_1\ldots j_r]}\) des Zutreffens von genau \(r\) bzw. 4. \(P_r=\sum\limits_{k=1}^m P_{[k]}\) des Zutreffens von mindestens \(r\) Ereignissen unter \(A_1,\ldots, A_m\) und schließlich 5. die Zahlen \(S_r= \sum p_{j_1\ldots j_r}\) darstellen sollen. Hierbei bedeutet \(j_1\ldots j_r\) eine Kombination \(r\)-ter Ordnung der \(m\) ersten natürlichen Zahlen.Als Bedingungen ergeben sich hierfür im 1. und 3. Fall \(z_i \geqq 0\) und \(\sum z_i = 1\) für die als \(p_{[\alpha\ldots\lambda]}\) bzw. \(P_{[r]}\) zu geltenden gegebenen Zahlen \(z_i\); bei 4. \(1 = z_0\geqq z_1\geqq \cdots\geqq z_m\geqq 0\) für \(z_k = P_k\); bei 5. \[ z_k-\binom{k+1}1z_{k+1}+\cdots+(-1)^{m-k}\binom m{m-k}z_m\geqq 0 \] mit \(k = 0, 1,\ldots, m\) und \(z_0 = 1\) für \(z_k = S_k\); schließlich bei 2. \[ \begin{split} z_{\alpha_1\ldots\alpha_r}\sum_{\beta_{r+1}}z_{\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}}+\cdots+(-1)^s \sum_{\beta_{r+1}\ldots\beta_{r+s}} z_{\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}\ldots\beta_{r+s}}+\cdots\\ +(-1)^{m-r}z_{12\ldots m}\geqq 0 \end{split} \] mit jeder ganzen Zahl \(0\leqq r\leqq m\) und allen Kombinationen \(\alpha_1\ldots\alpha_r\beta_{r+1}\ldots\beta_m\) der ersten \(m\) natürlichen Zahlen für \(z_{\alpha_1\ldots\alpha_r}=p_{\alpha_1\ldots\alpha_r}\).In allen Fällen wird auch die Frage der ein- oder mehrfachen Existenz von Ereignissystemen \(A_1,\ldots, A_m\) eingehend behandelt. Reviewer: Von Stachó, T., Prof. (Budapest) JFM Section:Erster Halbband. E. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Anwendungen. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. b) Spezielle Aufgaben. PDFBibTeX XMLCite \textit{M. Fréchet}, J. Math. Pures Appl. (9) 19, 51--62 (1940; JFM 66.0603.04)