Gambier, B. Étude d’un espace à quatre dimensions décomposable en la somme de deux espaces à deux dimensions. (French) JFM 66.0771.04 J. Math. pur. appl., Paris, (9) 19, 237-260 (1940). Die Plückerschen Koordinaten \(P_1,\ldots, P_6\) einer Geraden seien so normiert, daß \(P_1^2+P_2^2 + P_3^2= P_4^2+P_5^2+P_6^2=1\). Dann sind \(a= (P_1, P_2, P_3)\), \(\alpha = (P_4, P_5, P_6)\) Punkte der Einheitskugel, die mit zwei Schichten, einer römischen Schicht (\(a\)) und einer griechischen Schicht (\(\alpha\)) überdeckt ist. Die orientierte Gerade \(P\) wird auf das Punktepaar \(a\), \(\alpha\) abgebildet (vgl. E. Study: Über Nichteuklidische und Liniengeometrie. Jber. Deutsche Math.-Verein. 11 (1902), 313-340; F. d. M. 31, 470 (JFM 31.0470.*); 33, 490). Die Geraden \((a,\alpha)\) und \((b,\beta)\) schneiden sich, wenn der sphärische Abstand \(\overset\frown {ab}\) gleich dem sphärischen Abstand \(\overset \frown {\alpha\beta}\) ist. Es folgt eine Untersuchung der Transformationen der Punktepaare, die von der Gruppe der \(\infty^{15}\) Kollineationen induziert werden. Jeder orientierten Geraden kann ein orientierter Kreis zugeordnet werden, der auf der Kugel \(k=x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0\) senkrecht steht. Die Gerade wird die Achse des orientierten Kreises. Auf diese Weise werden auch die zur Kugel \(k\) senkrechten orientierten Kreise auf die Punktepaare \((a,\alpha)\) abgebildet. Sind dann die Zykel \((a,\alpha)\), \((b,\beta)\) inzident, ist also \(\overset\frown {ab}=\overset\frown{\alpha\beta}\), so wird dieser gemeinsame Wert gleich dem Winkel der beiden Zykel. Zwei Zykel \(\varGamma\), \(\varGamma_1\), deren Bildpunkte \(a\), \(a_1\), (\(\alpha\), \(\alpha_1\)) identisch sind, heißen auf römische (griechische) Weise parataktisch. Sie sind auf römische (griechische) Weise antitaktisch, wenn ihre römischen (griechischen) Bilder diametral entgegengesetzt sind. Dann gilt: Jeder Zykel, der zwei parataktische Zykel trifft, schneidet sie unter demselben Winkel. Zwei weder parataktische noch antitaktische Zykel haben zwei gemeinsame senkrechte Zykel. Zwei römisch- (griechisch-) parataktische Zykel haben \(\infty^1\) gemeinsame senkrechte Zykel, die alle unter sich griechisch-(römisch-)parataktisch sind. Sind zwei Zykel konjugiert, so steht jeder Zykel, der sie beide schneidet, auf beiden senkrecht. Schließlich ergibt sich die klassische Definition parataktischer Kreise: Zwei Kreise heißen parataktisch, wenn die Brennpunkte \(F\), \(F'\) des ersten den Brennpunkten \(F_1\), \(F_1'\) des zweiten so zugeordnet werden können, daß die Gerade \(FF_1\) und ebenso die Gerade \(F_1F_1'\) isotrop wird. Die Anwendungen betreffen Aufgaben, die sich auf Kreise beziehen, die zu einer reellen Kugel mit rein imaginärem Radius orthogonal sind: Satz von Petersen-Morley und Zusammenhang mit dem Satz von Desargues. Konstruktion einer allgemeinen Zyklide. Reviewer: Weiss, E. A., Prof. (Bonn) JFM Section:Erster Halbband. F. Geometrie. 3. Analytische und projektive Geometrie. f) Flächen höherer Ordnung und mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten. Citations:JFM 31.0470.* PDFBibTeX XMLCite \textit{B. Gambier}, J. Math. Pures Appl. (9) 19, 237--260 (1940; JFM 66.0771.04)