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Surfaces admettant plusieurs réseaux conjugués coniques. (French) JFM 66.0834.02

Verf. setzt zunächst wieder die allgemeine Methode auseinander, welche er früher (Ann. sci. École norm. sup. (3) 55 (1896), 83-118; F. d. M. 27, 326 (JFM 27.0326.*)) entwickelt hatte, um die Flächen zu bestimmen, auf denen es zwei oder mehrere konische Netze gibt, d. h. Paare von konjugierten Kurvenscharen von der Eigenschaft, daß die Tangentialebenen der Fläche längs jeder Kurve durch einen Punkt gehen. Bei den Schwierigkeiten, die der Durchführung der Rechnungen im allgemeinen Fall entgegenstehen, ist Spezialisierung geboten. Verf. betrachtet daher zuerst Flächen mit einem konischen Netz und einem Translationsnetz (im weiteren Sinne von F. Engel); bei dem ersten liegen die Schnittpunkte der Tangentialebenen auf zwei beliebigen Kurven, bei dem letzten auf zwei Kurven in einer Ebene. Das Problem führt auf zwei partielle Differentialgleichungen von der Form: \[ \dfrac{\partial\lambda}{\partial x}=H\lambda^2 + K\lambda + L,\quad \dfrac{\partial\lambda}{\partial y}=H_1\lambda^2 + K_1\lambda + L_1. \tag{1} \] Ist die Integrabilitätsbedingung identisch in \(\lambda\) erfüllt, so kommt man auf Liesche Flächen mit \(\infty^1\) konjugierten Netzen, die außerdem auch mindestens ein konisches Netz zulassen (Beisp.: die Quadriken); sind aber die Gleichungen (1) nicht unbeschränkt integrierbar, so kann es eine oder zwei Lösungen für \(\lambda\) geben. Als Beispiel wird der von F. Engel (Rend. Circ. mat. Palermo 59 (1935), 165-184; JFM 61.1420.*) auf andere Weise behandelte Fall von Flächen mit zwei Translationsnetzen betrachtet, wo die Schnittpunkte der Tangentialebenen beider Netze je in einer Ebene liegen. Verf. kommt auf dieselben Funktionalgleichungen wie Engel, die er auch in ähalicher Weise löst (aber auch nicht in der wohl zweckmäßigeren Weise der wiederholten Differentiation nach \(X'\)), und findet dieselben Flächen, z. T. in neuer Darstellung und mit Angabe von neuen Eigenschaften derselben. Bei den Schwierigkeiten, die der vollständigen Durchführung der Aufgabe entgegenstehen, ist das Engelsche Beispiel besonders wertvoll. Verf. weist auch darauf hin, daß die von den Schnittpunkten der Tangentialebenen beschriebenen Kurven nicht algebraisch zu sein brauchen, was die viel größere Schwierigkeit der jetzigen Untersuchungen gegenüber denen der Lieschen Flächen erklärt, da jetzt das Abelsche Theorem nicht mehr zur Seite steht.
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