An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems. (English) JFM 66.0991.02

Williamson, J.

Amer. J. Math. 62, 881-911 (1940).

An eine frühere Arbeit über die bei linearen dynamischen Systemen auftretenden algebraischen Probleme (Amer. J. Math. 58 (1936), 141-163; JFM 63.1290.*) anknüpfend, wird eine interessante matrizenalgebraische Behandlung der involutorischen Integrale linearer dynamischer Systeme gegeben. In Matrizendarstellung drückt sich das Verschwinden des Poissonschen Klammerausdrucks zweier Funktionen \(f\) und \(g\) der \(2n\) Veränderlichen \(x_i = p_i\), \(x_{n+i} = q_i\) (\(i = 1,2,\ldots,n\)) kurz durch \((f_x)'Gg_x\equiv 0\) aus, wo \(G\) eine schiefsymmetrische Matrix ist und \(f_x\) und \(g_x\) die Vektormatrizen der Gradienten von \(f\) und \(g\) sind. Ist die Hamiltonsche Funktion eine quadratische Form mit der Matrix \(H\), dann sind nach A. Wintner (Ann. mat. pura appl., Bologna, (4) 13 (1934), 105-112; JFM 60.1338.*) \(m\) quadratische Formen mit den symmetrischen Matrizen \(F_1= H, F_2,\ldots, F_m\) involutorische Integrale des Systems der kanonischen Gleichungen \(G\dot x = Hx\), wenn \[ F_iGF_j=F_jCF_i\qquad (i, j = 1,2,\ldots, m)\tag{1} \] gilt. Verf. zeigt, daß sich die Wintnersche Vermutung bestätigt, nach welcher es zu jeder Matrix \(H\) gerade \(n\) quadratische Formen mit den Matrizen \(F_1= H, F_2,\ldots, F_n\) gibt, die der involutorischen Bedingung (1) genügen. Weitere Integrale, insgesamt existieren \(2n-1\), gewinnt Verf. mit Hilfe von linearen Differentialoperatoren. Am Schluß gibt Verf. eine Anwendung auf das restringierte Dreikörperproblem. Bei diesem existiert außer dem Energieintegral nur noch ein quadratisches Integral, welches angegeben wird.

Reviewer: Quade, W., Prof. (Karlsruhe)

JFM Section:

Erster Halbband. G. Mathematische Physik. 1. Mechanik der starren Körper. d) Grundgleichungen der Dynamik.

Citations:

JFM 63.1290.*; JFM 60.1338.*