×

Étude d’une équation intégrale de l’hydrodynamique du fluide visqueux (écoulement laminaire en régime variable). (French) JFM 66.1075.01

Die Betrachtungen des Verf. wurden durch gewisse Methoden zur Bestimmung der Reibungskoeffizienten von Flüssigkeiten angeregt. Die Untersuchungen von Szymanski (J. Math. pur. appl. (9) 11 (1932), 67-107; JFM 58.0886.*), welche die Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 w}{\partial r^2}+ \frac 1r \frac{\partial w}{\partial r}- \frac{\partial w}{\partial t}=f(t) \] zum Gegenstand hatten, lieferten in dieser Richtung bereits Ergebnisse für Poiseuille-Strömungen durch eine zylindrische Kapillare (\(a\) deren Halbmesser, \(r\) Abstand eines Punktes von der Kapillarenachse), sofern nämlich der Druckunterschied an den Kapillarenden eine bekannte Funktion der Zeit \(t\) ist. Entsprechend dem Umstand, daß jedoch im Fall freier Strömung der Druckunterschied noch von der unbekannten Geschwindigkeit \(w(t)\) abhängt, untersucht Verf. die Integrodifferentialgleichung \[ \frac{\partial^2 w}{\partial r^2}+ \frac 1r \frac{\partial w}{\partial r}- \frac{\partial w}{\partial t}=C+ \iint w(r/t)r\,dr\,dt. \] Er gelangt dabei zu folgendem Ergebnis : Es sei \(\mathfrak M\) die Menge aller reellen Wurzeln der Gleichung \[ 2\mu \operatorname{Im}_1(x)-x(x^4+\mu)\operatorname{Im}_0(x)= 0 \] und \[ h(r/t)=\sum_{x\subset \mathfrak M}\frac {16\beta\mu}{12\mu x^2-(x^4+\mu)^2} \frac{\operatorname{Im}_0\left(\dfrac{rx}a\right)-\operatorname{Im}_0(x)} {\operatorname{Im}_0(x)}\,e^{-\tfrac{x^2}{4\alpha^2}t}. \tag{1} \] In dem Gebiet \(0\leqq r \leqq a\), \(0\leqq t\leqq T\) sind \(h\) und \(\dfrac{\partial h}{\partial r}\), stetig, während \(\dfrac{\partial h}{\partial t}\), \(\dfrac{\partial^2 h}{\partial r^2}\) für \(r=a\), \(t=0\) unstetig sind. Von diesem Ausnahmepunkt abgesehen genügt die Funktion \(h(r/t)\) der Integrodifferentialgleichung \[ \frac{\partial^2w}{\partial r^2}+\frac 1r \frac{\partial w}{\partial r}-\frac{4\alpha^2}{a^2}\frac{\partial w} {\partial t}+\frac{4\beta}{a^2}-\frac{8\lambda}{a^4} \int\limits_0^a\int\limits_0^t w(r/t)r\,dr\,dt= 0, \] wobei \(\alpha\), \(\beta\), \(\lambda\), \(\mu\) Konstante bedeuten, sowie den Randbedingungen \(w(a,t)=0\), \(w(r,0)=0\). – Für unbegrenzt wachsende Kapillarenlänge ergibt (1) einen Ausdruck, der auf direktem Wege von Grumbach (J. Physique Radium (7) 9 (1938), 49-51; JFM 64.1447.*) abgeleitet worden war.
PDFBibTeX XMLCite