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Les probabilités associées à un système d’événements compatibles et dépendants; I. Événements en nombre fini fixe. (French) JFM 66.1299.02
Actual. sci. industr. 859, 88 p (1940).
Das vorliegende Heft ist das erste einer Reihe, in der die wichtigsten Sätze über die Wahrscheinlichkeiten von \(n\) beliebig verknüpften Ereignissen zusammengestellt werden. Es behandelt die Fälle, in denen \(n\) eine feste endliche Zahl ist. Das zweite wird Sonderfälle und Anwendungen, das dritte Grenzwertsätze (für \(n \to\infty\)) bringen.
Ist bei den (nicht notwendig unabhängigen) Ereignissen \(E_1, E_2, \dots, E_m\) keine zeitliche Reihenfolge festgelegt, so sind in der Regel \[ p_{j_1}, p_{j_1 j_2}, p_{j_1 j_2 j_3}, \dots, p_{1 2 3 \cdots m} \] (\(j_1 < j_2 < j_3 < \cdots \)) die gegebenen \(2^m - 1\) Ausgangswahrscheinlichkeiten. (Dabei ist \(p_{j_1 j_2 \cdots j_r}\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das \(j_1\)-te, das \(j_2\)-te, …, das \(j_r\)-te Ereignis und möglicherweise noch weitere Ereignisse eintreten.)
Inhalt: Einleitung: Verteilungen von Zufallsveränderlichen, die nur endlich viele ganzzahlige Werte annehmen. Zusammenhang zwischen ihren Momenten und erzeugenden Funktionen. Kap. I: Die Wahrscheinlichkeit \(P_{[r]}\) dafür, daß genau \(r\) der Ereignisse bei einem Versuch eintreten, und ihre Momente. Die Formel von Poincaré. Die Wahrscheinlichkeit \(p_{[j_1 j_2 \cdots j_r]}\), dafür, daß die Ereignisse \(E_{j_1}, E_{j_2}, \dots, E_{j_r}\) und keine weiteren eintreten. Ereignisse \(H\), die Funktionen der Ereignisse \(E_1, E_2, \dots, E_m\) sind, und ihre Wahrscheinlichkeiten. Hier gilt eine bemerkenswerte, sehr nützliche Regel: Man führt die Rechnung für \(m\) unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten \(p_1, p_2, \dots, p_m\) durch und ersetzt im Ergebnis \[ \text{prob } H = \sum_{r=0}^m \sum_{j_1 \cdots j_r} c_{j_1 j_2 \cdots j_r} p_{j_1} p_{j_2} \cdots p_{j_r} \] die Produkte \(p_{j_1} p_{j_2}\), \(p_{j_1} p_{j_2} p_{j_3}\), …durch \(p_{j_1 j_2}\), \(p_{j_1 j_2 j_3}\), …usw. – Symbolische Formeln für die Verteilung \(P_{[r]}\) und ihre faktoriellen Momente. Kalkül mit den zu den Ereignissen gehörigen Merkmalmengen. Satz von Ch. Jordan und Broderick über additive Funktionen der Ereignisse. Zufallsveränderliche, die von den Ereignissen \(E_1, E_2, \dots, E_m\) abhängen. Das Problem der Iterationen für verträgliche Ereignisse. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und ihr Zusammenhang mit den \(p_{j_1j_2 \cdots j_r}\). Formeln von H. Geiringer. Mehrere Systeme von Ereignissen.
Kap. 2: Die Ungleichungen von Boole, Bonferroni und Gumbel. Ungleichungen für die \(p_{j_1j_2 \cdots j_r}\), für die \(p_{[j_1j_2 \cdots j_r]}\) für \(P_{[r]}\) und die faktoriellen Momente dieser Verteilungen. Assoziierte Systeme von Ereignissen (die Systeme \(A_1, A_2, \dots, A_m\) und \(B_1, B_2, \dots, B_m\) heißen assoziiert, wenn zu ihnen dieselbe Verteilung \(P_{[r]}\) gehört). Ersatz von Systemen durch assoziierte Systeme unabhängiger Ereignisse sowie durch Systeme austauschbarer Ereignisse. Systeme fiktiver unabhängiger Ereignisse, die einem gegebenen System assoziiert sind (K. Pearson, E. Borel).
Ein Literaturverzeichnis beschließt diesen Bericht über ein bisher wenig bearbeitetes Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, dessen Sätze mannigfacher Anwendungen fähig sind, zumal die Annahme der Unabhängigkeit von Ereignissen vielfach eine zu weit gehende Idealisierung bedeutet.