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On the modular characters of groups. (English) JFM 67.0073.02
Verf. behandeln im Anschluß an eine frühere Arbeit (Univ. Toronto Studies, math. Ser. Nr. 4 (1937); F. d. M. 63\(_{\text{II}}\), 866) die Darstellung endlicher Gruppen in einem algebraischen Zahlkörper der Charakteristik \(p \neq 0\). Die Untersuchung wird durchweg nur mit den Mitteln der Darstellungstheorie, ohne Heranziehung der Algebrentheorie oder der Idealtheorie, geführt. Eine in einem algebraischen Zahlkörper der Charakteristik 0 irreduzible Darstellung der Gruppe \(\mathfrak{G}\) bleibt nicht notwendig irreduzibel, wenn man zu dem Zahlkörper modulo \(\mathfrak{p} \neq 0\) übergeht, wobei \(\mathfrak{p}\) ein die Gruppenordnung teilendes Primideal in dem betreffenden Körper sei. Der Satz von Maschke, welcher die volle Reduzierbarkeit der Darstellungen einer endlichen Gruppe in jedem algebraischen Zahlkörper \(K\) der Charakteristik 0 aussagt, gilt nicht mehr für Darstellungen in einem \(K(p)\), \(p \neq 0\), wenn \(p\) die Gruppenordnung teilt, dagegen bleibt er richtig, wenn \(p\) prim zur Gruppenordnuug ist. \(\mathfrak{G}\) sei von der Ordnung \(g=p^a \cdot g'\), \((p, \,g')=1\), \(p\) Primzahl. Eine gewöhnliche irreduzible Darstellung von \(\mathfrak{G}\) vom Grade \(z \equiv 0(p^a)\) bleibt irreduzibel, wenn man sie mod \(p\) nimmt. Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen von \(\mathfrak{G}\), die auch mod \(p\) irreduzibel bleiben, hangt von der Anzahl der Klassen derjenigen Elemente aus \(\mathfrak{G}\) ab, die zu \(p\) prime Ordnung haben und im Zentralisator wenigstens einer \(p\)-Sylowgruppe von \(\mathfrak{G}\) liegen.
Reviewer: Grün, O. (Berlin)

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