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Free lattices. (English) JFM 67.0085.01
\(\mathfrak{L}\) sei der durch \(n\) Elemente \(X_1, \ldots \!, X_n\) erzeugte freie Verband. Eine aus diesen \(X_i\) und den Verbandsoperationen \(\cup\) und \(\cap\) und Klammern aufgebaute endliche Verbindung heiße ein Verbandspolynom. \(\leqq\) sei die Teilrelation in \(\mathfrak{L}\). Es gilt \(X_i \leqq X_j\) dann und nur dann, wenn \(i = j\) ist; allgemein gilt für zwei Verbandspolynome \(A\) und \(B\) die Beziehung \(A \leqq B\) dann und nur dann, wenn rekursiv einer oder mehrere der folgenden Fälle vorliegen: a) \(A \equiv A_1 \cup A_2\) mit \(A_1 \leqq B\) und \(A_2 \leqq B\), b) \(A \equiv A_1 \cap A_2\) mit \(A_1 \leqq B\) oder \(A_2 \leqq B\), c) \(B \equiv B_1 \cup B_2\) mit \(A \leqq B_1\) oder \(A \leqq B_2\), d) \(B \equiv B_1 \cap B_2\) mit \(A \leqq B_1\) und \(A \leqq B_2\). Dieser Satz gibt ein rekursives Verfahren, um für zwei beliebige \(A\), \(B\) zu entscheiden ob \(A \leqq B\) ist, oder nicht. Damit ist (wegen \(A = B\) dann und nur dann, wenn \(A \leqq B\) und \(B \leqq A\)) auch ein Verfahren angegeben, die Gleichheit im Sinne des Verbandes \(\mathfrak{L}\) von zwei Verbandspolynomen festzustellen. Für die praktische Durchführung werden weitere Regeln abgeleitet. Als Länge eines Verbandspolynoms \(A\) wird die Gesamtzahl der in \(A\) auftretenden \(X_t\) (mit Wiederholung) bezeichnet; so hat z. B. \(A = (X_1 \cap X_1) \cup X_2\) die Länge 3. Es wird bewiesen, daß unter allen zu einem \(A\) gleichen Verbandspolynomen ein bis auf Kommutativität und Assoziativität eindeutig bestimmtes von kürzester Länge existiert. Regeln zur Bestimmung dieser kanonischen Gestalt werden angegeben.

Subjects:
Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 5. Abstrakte Theorie der Verbände, Ringe und Körper. a) Verbände.
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