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An analogue to Minkowski’s geometry of numbers in a field of series. (English) JFM 67.0140.01
Erster Teil. \(\mathfrak R\) sei ein kommutativer Körper mit nicht-archimedischer Bewertung; d. h. \(|0| = 0\), \(| x | >0\) für \(x \neq 0\), \[ |xy| = |x| \cdot |y|, \quad |x \pm y| \leqq \text{ Max }(|a|, |y|). \] (Der triviale Fall “\(| x| = 1\) für alle \(x \neq 0\)” wird stillschweigend ausgeschlossen.) \(\mathfrak K\) sei die (in bezug auf diese Bewertung) perfekte Erweiterung von \(\mathfrak R\). \(P_n\) ist der \(n\)-dimensionale Raum aller “Punkte” \(X =(x_1, \dots, x_n)\) mit \(x_j \in \mathfrak K\); setzt man \(| X | = \text{ Max } (| x_1|, \dots, |x_n|)\), so ist \(| aX | = | a | \cdot | X |\) für \(a \in \mathfrak K\), \[ |X \pm Y| \leqq \text{ Max }(|Z|,|Y|), \quad |X Y| \leqq |X| \cdot |Y|, \] wo \(ZY = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n\). Ist \(\mathfrak M \subset \mathfrak K\), so heißen die Punkte \(X^{(1)}, \dots, X^{(k)}\) \(\mathfrak M\)-unabhängig, wenn keine Gleichung \(a_1X^{(1)} + \cdots + a_kX^{(k)} = 0\) mit \(|a_1| + \cdots + |a_k| >0\), \(a_j \in \mathfrak M\) gilt; \(\varOmega\) wird immer eine Matrix von Elementen \(\omega_{hk} \in \mathfrak K\) \((h, k = 1, \dots, n)\) mit nichtverschwindender Determinante bedeuten. Eine reelle Funktion \(F(X)\) heiße eine (allgemeine) Distanzfunktion, wenn folgendes gilt: \[ F(X) \geqq 0; \quad F(aX) = |a| \,F(X) \;\text{ für } \;a \in \mathfrak K; \quad F(X \pm Y) \leqq \text{ Max } (F(X), F(Y)). \] Ist \(\tau > 0\), so heißt die Menge \(C(\tau)\) aller \(X\) mit \(F(X) \leqq \tau\) eine konvexe Menge; wie ersichtlich, werden nur symmetrische Mengen (in bezug auf den Nullpunkt) in diese Definition eingeschlossen. Ist \(F(X) = 0\) nur für \(X = 0 = (0, \dots, 0)\), so heiße \(F\) speziell, und \(C(\tau)\) heiße ein konvexer Körper. Zu jeder Distanzfunktion \(F\) gibt es ein \(\varGamma > 0\), so daß \(F(X) \leqq \varGamma |X|\) für alle \(X\); ist \(F\) speziell (und offenbar nur dann), so gibt es ein \(\gamma > 0\) mit \(F(X) \geqq \gamma | X |\). Die Untersuchung der konvexen Mengen läßt sich auf diejenige der konvexen Körper zurückführen, indem sich jede konvexe Menge als ein Zylinder auffassen läßt, dessen Basis ein konvexer Körper in einem linearen Unterraum von \(P_n\) ist.
Es sei nun \(F\) eine spezielle Distanzfunktion, \(A_1\) die Menge aller Zahlen \(| x |\), \(A_2\) die Menge aller Werte \(F(X)\). I. Fall. \(A_1\) ist nicht dicht (auf der positiven Zahlenachse); dann gibt es ein \(b > 1\), so daß \(A_1\) die Menge aller Zahlen 0 und \(b^t\) ist (\(t\) wird immer ganze Zahlen bedeuten). In diesem Falle ist der Körper \(C(\tau)\) ein Parallelepiped, d. h. es gibt eine lineare Substitution \(Y = \varOmega_\tau X\), so daß \(C(\tau)\) mit der Menge aller \(X\) mit \(|\varOmega_\tau X| = \underset{1 \leqq h \leqq n} {\text{ Max }} \left|\sum\limits_{k=1}^n \omega_{hk}^{(\tau)} x_k \right| \leqq \tau\) übereinstimmt. Besonders einfach gestaltet sich hier der Fall \(A_2 = A_1\) den wir als Fall \(Ia\) bezeichnen wollen; hier ist nämlich \(\varOmega = \varOmega_\tau\) für alle \(\tau \in A_1\) von \(\tau\) unabhängig, und es ist \[ F(X) = | \varOmega X | \;\text{ für alle } \;X. \tag{1} \]
II. Fall. \(A_1\) ist dicht; dann gibt es zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine Matrix \(\varOmega_\varepsilon\), so daß für alle \(X\) gilt \[ (1 - \varepsilon) | \varOmega_\varepsilon X | \leqq F(X) \leqq (1 + \varepsilon) | \varOmega_\varepsilon X|. \]
Die zu einer (allgemeinen) Distanzfunktion \(F\) polare Funktion \(G\) wird durch \(G(Y) = \sup\limits_{F(X) \leqq 1} | XY |\) definiert; ist \(F\) speziell, so ist auch \(G\) eine spezielle Distanzfunktion; liegt dabei der Fall Ia oder II vor, so ist umgekehrt \(F\) polar zu \(G\). (Verf. hebt nicht hervor, daß man sich im Falle I auf den Unterfall Ia beschränken muß.)
Zweiter Teil. Es wird folgender Spezialfall betrachtet: \(\mathfrak k\) sei ein kommutativer Körper, \(\mathfrak R\) der Körper aller rationalen Funktionen einer Unbestimmten \(z\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak k\); \(\mathfrak T \subset \mathfrak R\) sei die Menge aller Polynome in \(z\). Ist \(x \in \mathfrak R\), \(x \neq 0\), und ist \(f\) der Grad von \(x\) (Grad des Zählers minus Grad des Nenners), so sei \(| x | = e^f\). Dann ist \(\mathfrak K\) die Menge aller Reihen \(x = \alpha_f z^f + \alpha_{f-1} z^{f-1} + \alpha_{f-2} z^{f-2} + \cdots\) mit \(\alpha_j \in \mathfrak k\); ist \(\alpha_f \neq 0\), so ist \(| x | = e^f\). Liegen die Koordinaten eines Punktes \(X \in P_n\) sämtlich in \(\mathfrak T\), so heiße \(X\) ein Gitterpunkt. – Es sei \(F\) eine spezielle Distanzfunktion, die nur die Werte 0 und \(e^t\) annimmt, so daß der Fall Ia vorliegt. Das Volumen \(V\) des Körpers \(F(X) \leqq 1\) wird folgendermaßen definiert: Es sei \(M(t)\) die Höchstzahl von \(\mathfrak k\)-unabhängigen Gitterpunkten \(X\) mit \(F(X) \leqq e^t\); für \(F(X) = | X |\) werde diese Zahl mit \(M_0(t)\) bezeichnet. Dann ist \(M(t + 1) = M(t) + n\) für große \(t\), so daß \(M(t) - M_0(t)\) von einem gewissen \(t\) an konstant ist; man setze \(V = \lim\limits_{t\to\infty} e^{M(t) - M_0(t)}\), also speziell \(V = 1\) für \(F(X) = | X |\). Das Volumen \(V\) besitzt die gewöhnliche Invarianzeigenschaft: ist \(F^\prime(X) = F(\varOmega X)\), so ist das Volumen von \(F^\prime(X) \leqq 1\) gleich \(| D |^{-1} \cdot V\), wo \(D\) die Determinante von \(\varOmega\) ist. Wegen (1) läßt sich also \(V\) für jedes \(F\) berechnen. Ist \(V^\prime\) das Volumen des polaren Körpers \(G(X) \leqq 1\), so ist \(VV^\prime = 1\). – Man führe nun die sukzessiven Minima \(0 < \sigma_1 \leqq \sigma_2 \leqq \cdots \leqq \sigma_n\) von \(F\) auf folgende Weise ein: Es sei \(X^{(1)}\) ein Gitterpunkt \(\neq 0\), für welchen \(F(X^{(1)}) = \sigma_1\) möglichst klein ausfällt; sind \(X^{(1)}, \dots, X^{(k-1)}\) bereits gewählt, so sei \(X^{(k)}\) ein von \(X^{(1)}, \dots, X^{(k-1)}\) \(\mathfrak K\)-unabhängiger Gitterpunkt, für welchen \(F(X^{(k)}) = \sigma_k\) möglichst klein ausfällt. Die sukzessiven Minima der polaren Funktion \(G\) seien \(0 < \tau_1 \leqq \tau_2 \leqq \cdots \leqq \tau_n\). Es sei \(D\) die aus den Koordinaten der Punkte \(X^{(1)}, \dots, X^{(n)}\) gebildete Determinante. Es gelten folgende zahlengeometrische Sätze (sie sind, wie man sehen wird, meistens schärfer als die entsprechenden Sätze im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raume \(R_n\): an Stelle von Ungleichungen treten oft Gleichungen auf). I. \(D\) liegt in \(\mathfrak k\); es ist \(\sigma_1 \dots \sigma_n V = 1\), \(\sigma_h \tau_{n-h+1} = 1\) \((h = 1, \dots, n)\). Folgerung: Zu jedem Punkt \(Z \in P_n\) gibt es einen Gitterpunkt \(X\) mit \(F(X + Z) \leqq (e\tau_1)^{-1}\); die Schranke wird für \(Z = z^{-1}X^{(n)}\) erreicht; Spezialfall: ein Analogon des Kroneckerschen Satzes. Analoge Sätze im \(R_n\): Minkowski, Geometrie der Zahlen (1910; F. d. M. 41, 239 (JFM 41.0239.*)); Davenport, Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 10 (1939), 119-121 (F. d. M. 65, 175 (JFM 65.0175.*)); Mahler, Časopis Mat. Fysik., Praha, 68 (1939), 93-102 (F. d. M. 65, 175 (JFM 65.0175.*)).
II. Ist \(\varOmega\) eine Matrix in \(\mathfrak K\) mit der Determinante 1, so gibt es eine Matrix \(U\) in \(\mathfrak T\) mit der Determinante 1, so daß \(\prod\limits_{h=1}^n \underset{1 \leqq k \leqq n}{\text{ Max }} |a_{hk} | = 1\) ist; dabei sind \(a_{hk}\) die Elemente der Matrix \(\varOmega U\). Ein analoger Satz in \(R_n\) wurde Von Siegel in einem Briefe an Mordell bewiesen. Folgerung: Es seien \(a_{hk}\), \(a_h\) Elemente aus \(\mathfrak K\); die Determinante der \(a_{hk}\) sei 1. Dann gibt es einen Gitterpunkt \((x_1, \dots, x_n)\) mit \[ \prod_{h=1}^n |a_{h_1} x_1 + \cdots + a_{hn} x_n + a_h| \leqq e^{-n}; \] die Schranke ist scharf. Wegen eines analogen Satzes in \(R_n\) vgl. z. B. Tschebotaröw, Rudolf-Fueter-Festschr., Vjschr. naturf. Ges. Zürich 85, Beibl. Nr. 32 (1940), 27-30, und Mordell, ebenda, S. 47-50 (F. d. M. 66, 185 (JFM 66.0185.*)).
III. Der Körper \(\mathfrak R\) läßt noch andere Bewertungen zu. Es sei \(\xi \in \mathfrak k\); man setze \(| x |_\xi = e^{-f}\) wenn \(x = (z - \xi)^f y\), wo die rationale Funktion \(y\) weder im Zähler noch, im Nenner den Faktor \(z - \xi\) enthält. Die perfekte Erweiterung \(\mathfrak K_\xi\) ist dann die Menge aller Reihen \(x = \alpha_f (z - \xi)^f + \alpha_{f+1}(z - \xi)^{f+1} + \alpha_{f+2}(z - \xi)^{f+2} + \cdots\) mit \(\alpha_j \in \mathfrak k\); ist \(\alpha_f \neq 0\), so ist \(|x|_\xi = e^{-f}\). Außer \(F\) sei noch eine, allgemeine Distanzfunktion \(F_\xi(X)\) (für den Korper \(\mathfrak K_\xi\)) gegeben. Dann gibt es zu jedem hinreichend großen \(t\) ein System von \(n\) Gitterpunkten \(X^{(1)}, \dots, X^{(n)}\) mit \(F(X^{(1)}) \dots F(X^{(n)}) = |D| \cdot V^{-1}\), \(F_\xi (X^{(k)}) \leqq e^{-t}\) \((k = 1, \dots, n)\), wo \(D \neq 0\) die aus den Koordinaten der Punkte \(X^{(j)}\) gebildete Determinante bedeutet. In einem Spezialfall wird ein noch schärferes Ergebnis erhalten.

MSC:
11H99 Geometry of numbers
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