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Quelques classes de fonctions entières limites de polynômes et de fonctions méromorphes limites de fractions rationnelles. (French) JFM 67.0269.01
Actual. sci. industr. 891, 52 p (1941).
In einem ersten Kapitel wird die Reihe jener Sätze dargestellt und bewiesen, die vor allem an den Namen Laguerre geknüpft sind, und die die Grenzfunktion jener Polynomfolgen zum Gegenstand haben, deren Nullstellen positiv reell oder reell sind oder ähnlichen Bedingungen genügen. Erwähnt sei vor allem die Verschärfung der Laguerreschen Sätze durch Pólya und Petrowitch, ihre Erweiterung durch Lindwart – die Nullstellen genügen einer Bedingung von der Form \(\sum\limits_{p=1}^n|\alpha_{np}|^{-k}<M\) –, die Verbindung dieses Ideenkreises mit der Theorie der normalen Scharen durch Montel und die jüngsten Ergebnisse des Verf. über zwei Polynomfolgen mit je reellen und einander trennenden Nullstellen.
Als Anwendung bringt das II. Kapitel zur Darstellung die schönen Sätze von Laguerre, Pólya und Schur über Bedingungen für die Multiplikatoren \(\gamma_0,\gamma_1,\gamma_2,\ldots\), damit bei der Transformation des Polynoms \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots+ a_nx^n\) in \(a_0\gamma_0+a_1\gamma_1x +a_2\gamma_2x^2+\cdots + a_n\gamma_nx^n\) gewisse Eigenschaften der Nullstellen, z. B. daß alle reell sind, erhalten bleiben.
Im III. Kapitel werden jene meromorphen Funktionen untersucht, die Grenzfunktionen sind von Folgen solcher rationaler Funktionen, deren Nullstellen und Pole analogen Bedingungen genügen wie die Nullstellen in Kap. I. Erwähnt seien vor allem die Sätze von Saxer, von welchen die vorliegende Untersuchung ihren Anfang nahm, das Resultat von Montel für den Fall einander trennender Nullstellen und Pole und schließlich die Ergebnisse des Verf., durch die die rationalen Funktionen durch die Pole und die Koeffizienten in ihrer Partialbruchentwicklung charakterisiert werden.