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Dimension theory. (English) JFM 67.1092.03
165 p. Princeton University Press (1941).
Legt man dem Vakuum die Dimension\({}-1\) bei, so kann man die Dimension eines Raumes folgendermaßen definieren: Ein Raum heißt höchstens \(n\)-dimensional, wenn jeder Punkt enthalten ist in beliebig kleinen Umgebungen mit höchstens \((n-1)\)-dimensionalem Rand. Er heißt \(n\)-dimensional, wenn er höchstens \(n\)-dimensional ist, ohne höchstens \((n-1)\)-dimensional zu sein.
Mit dieser Definition der Dimension wird die Theorie vollständig entwickelt unter Behandlung aller hineinspielenden topologischen Fragen, so daß das Buch zugleich eine Einführung in die moderne Topologie bildet.
Kap. 1 behandelt die Entwicklung des Dimensionsproblems und die ersten Lösungsversuche, Kap. 2 und 3 bringen die Ergebnisse bis 1928. Kap. 4 enthält einen neuen Beweis dafür, daß der \(n\)-dimensionale Raum der analytischen Geometrie \(n\)-dimensional im Sinne der Dimensionstheorie ist. Kap. 5 gibt Anwendungen in der Funktionalanalysis. So wird gezeigt, daß jeder \(n\)-dimensionale Raum topologisch eingebettet werden kann in einen \((2n+1)\)-dimensionalen euklidischen Raum. Kap. 6 untersucht Abbildungen von Räumen auf die \(n\)-dimensionale Sphäre und enthält einfache Beweise klassischer Sätze, z. B. des Jordanschen Satzes, für den \(n\)-dimensionalen Raum. Kap. 7 enthält nach einer Gegenüberstellung von Dimension und Maß eine Einführung in die Homologietheorie, die die Topologie und Dimensionstheorie mit der Algebra verknüpft. In einem Anhang wird gezeigt, weshalb Verf. sich auf separable metrische Räume beschränken.

Subjects:
Heft 7. F. Geometrie. 12. Topologie. a) Zusammenfassende Darstellungen.