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Free lattices. II. (English) JFM 68.0047.02

\(FL(n)\) sei der freie Verband, der von \(n\) Elementen \(x_1,\ldots,x_n\) erzeugt wird. § 1 enthält eine Wiederholung und teilweise Verschärfung der Resultate von Teil I (Ann. Math., Princeton, (2) 42 (1941), 325-330; F. d. M. 67, 85 (JFM 67.0085.*)), darunter den Satz: In \(FL(n)\) gilt für jedes \(a\) entweder \(a =\sum\limits_{i=1}^n x_i\) oder \(a=\sum\limits_{i\neq p}x_i\) für irgendein \(p\), oder sonst ist für ein Paar \(p\), \(q\), \(p\neq q\), \(a= b_{pq}\) oder \(a\leqq c_{pq}\), wobei \[ b_{pq}=\left(\sum_{i\neq p}x_i\right)\cap\left(\sum_{i\neq q} x_i\right), \;c_{pq}=\left(\sum_{i\neq p,q}x_i\right)\cup\sum_{r\neq p,q} \left[\left(\sum_{i\neq p}x_i\right)\cap \left(\sum_{i\neq q}x_i\right)\cap\left(\sum_{i\neq r}x_i\right)\right] \] ist. In § 2 wird bewiesen, daß die erzeugenden Elemente eines \(FL(n)\) bis auf Permutation eindeutig bestimmt sind, woraus folgt, daß die Automorphismengruppe von \(FL(n)\) gleich der symmetrischen Gruppe von \(n\) Elementen ist.
In § 3 wird bewiesen, daß eine Teilmenge \(U=\{u_i\}\) von \(FL(n)\) dann und nur dann einen freien Teilverband erzeugt, wenn aus \(u_j\leqq\sum\limits_{i\in S}u_i\) oder der dazu dualen Aussage stets \(j\in S\) folgt. In \(FL (3)\) bilden die folgenden vier Elemente ein solches freies System: \[ \begin{aligned} u_1&=[x_1\cap(x_2\cup x_3)]\cup[x_2\cap(x_1\cup x_3)], \;u_2=[x_1\cap(x_2\cup x_3)]\cup[x_3\cap(x_1\cup x_2)],\\ u_3&=[x_1\cup(x_2\cap x_3)]\cap[x_2\cup(x_1\cap x_3)], \;u_4=[x_1\cup(x_2\cap x_3)]\cap[x_3\cup(x_1\cap x_2)]. \end{aligned} \] Daraus folgt, daß \(FL(3)\) alle \(FL(n)\) mit endlichem oder abzählbarem \(n\) als Teilverbände besitzt. \(FL(n)\) hat aber keinen Teilverband, der isomorph zum freien modularen oder distributiven Verband ist.
§ 4 beschäftigt sich mit der Topologie in \(FL(n)\). Eine Folge \(a_i\) eines Verbandes heißt \(o\)-konvergent gegen \(a\), wenn Folgen \(u_i\), \(v_i\) existieren, so daß \[ u_i\leqq u_{i+1}\leqq a_{i+1}\leqq v_{i+1}\leqq v_i \] für alle \(i\) gilt und \(\sup u_i = \inf v_i= a\) ist. Es wird bewiesen, daß \(FL(n)\) stetig ist bezüglich dieser Konvergenz, d. h. daß aus \(a_i\to a\), \(b_i\to b\) folgt \(a_i\cup b_i\to a\cup b\) und die duale Aussage dazu. Es ist jedoch nicht geklärt, ob es überhaupt eine konvergente Folge in \(FL(n)\) gibt. In \(FL (3)\) wird ein Beispiel einer beschränkten Folge ohne Grenzwert gegeben. \(FL(3)\) ist also nicht vollständig, ebenso \(FL(n)\). § 5 gibt ein Resultat von G. Birkhoff wieder, daß im freien modularen Verband aus 4 Erzeugenden eine absteigende unendliche Kette von Elementen existiert. § 6 gibt einige ungelöste Probleme an.

Citations:

JFM 67.0085.*
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