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Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper. (German) Zbl 0001.00801
Es sei \(\mathfrak p\) ein Primideal eines Zahlkörpers \(k\), welches im Galoisschen Oberkörper \(K\) durch \(\mathfrak P^\Omega\) teilbar wird. Es seien \(\mathfrak T\) die Trägheitsgruppe und \(\mathfrak V_1, \mathfrak V_2, \ldots\) die Verzweigungsgruppen von \(\mathfrak P\). Ist \(\mathfrak V\) eine der genannten Gruppen und \(\chi\) ein Charakter der Galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\), so setze man
\[ \varphi(\mathfrak V)=\sum_{\tau\text{ in }\mathfrak V} (\chi(\tau)-\chi(1)). \]
Nun wird der Führer eines Charakters \(\chi\) in \(K\) über \(k\) so definiert:
\[ \mathfrak f(\chi,K/k)=\prod_{\mathfrak p} \mathfrak p^{-(\varphi(\mathfrak T)+\varphi(\mathfrak V_1)+\varphi(\mathfrak V_2)+\ldots):e}. \]
Dieser Führer ist stets ein ganzes Ideal aus \(k\). Für einen zusammengesetzten Charakter berechnet es sich als Produkt der Führer der einfachen Charaktere, aus denen dieser zusammengesetzt ist. Ist \(K\) Abelsch über \(k\), so ist \(\mathfrak f(x)\) der Führer der Klassenkörpertheorie. Ist \(\Omega\) ein Zwischenkörper, \(\mathfrak U\) die zugehörige Untergruppe, \(\chi_\Omega =\sum g_\nu \chi_\nu\) der von dem Hauptcharakter der Untergruppe induzierte (zusammengesetzte) Charakter von \(\mathfrak G\), so gilt für die Diskriminante \(\mathfrak D_\Omega\) von \(\Omega\) über \(k\) die Zerlegung \[ \mathfrak D_\Omega=\mathfrak f(\chi_\Omega,K/k)=\prod_{\nu} \mathfrak f(\chi_\nu,K/k)^{g_\nu}. \]
Durch diese Formel zusammen mit der Forderung, daß konjugierten Charakteren dasselbe Ideal entsprechen soll, sind die Führer \(\mathfrak f(\chi, K/k)\) eindeutig gekennzeichnet. Allgemein kann man jeden Führer eines von einem Charakter \(\psi\) von \(\mathfrak U\) induzierten Charakters ausdrücken als Produkt aus einer Diskriminantenpotenz und der Norm eines Führers von \(K/\Omega\). Alle diese Formeln sind ,,elementar” beweisbar; nur zum Beweis, daß der Führer ein ganzes Ideal von \(k\) ist, braucht man die Klassenkörpertheorie.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R37 Class field theory
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Full Text: DOI Crelle EuDML