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Rélation entre le nombre de classes d’un sous-corps et celui d’un surcorps. (French) Zbl 0001.00901
Der Verf. beweist folgende Sätze: 1. Ist \(K\) eine beliebige endliche algebraische Erweiterung des endlichen Zahlkörpers \(k\), und enthält \(K\) keinen unverzweigten Abelschen Oberkörper von \(k\), so ist die Idealklassenzahl von \(K\) durch die von \(k\) teilbar.
Der Beweis ergibt sich mittels eines Satzes von H. Hasse über relativ Abelsche Zahlkörper [Math. Z. 31, 559–564 (1930; JFM 56.0166.04)]. Als Folgerung aus 1. gewinnt der Verf. den Satz 2., daß die Klassenzahl eines beliebigen, aber galoisschen endlichen Oberkörpers \(K\) von \(k\) durch einen gewissen Teiler der Klassenzahl von \(k\) teilbar ist.
Schließlich wird als bemerkenswerte Folge der Satz erhalten:
3. Ist \(K\) ein Körper mit der Klassenzahl 1, dann existiert eine Körperkette
\[ K_0 < K_1 < K_2 < \cdots < K_n = K, \] wobei \(K_0\) den Körper der rationalen Zahlen bedeutet, von der Eigenschaft, daß a) zwischen \(K_i\) und \(K_{i+1}\) kein Zwischenkörper eingeschaltet werden kann, b) die Klassenzahl von \(K_i\) gleich 1 ist.
Die Arbeit enthält 2 entstellende Druckfehler: S. 258 Zeile 20 v.o. muß es links \(K\overline K_T/K\), rechts \(\overline K_T/K_T\) heißen.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R20 Other abelian and metabelian extensions
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