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Neue Grundlagen für einen Infinitesimalkalkül der Matrizen. (German) Zbl 0001.01503
Als ,,absoluter Betrag” einer Matrix \(A\) vom Grade \(n\) wird die Größe \(n\cdot \max | a_{ik}|\) definiert. Auf Grund davon werden Grenzwerte und Differentialquotienten von Matrices definiert und eine Integralrechnung begründet. Der wichtigste Begriff ist das ,,Produktintegral” einer veränderlichen Matrix \(A(\kappa)\) (\(\kappa\) reell): \[ \begin{aligned} Y = Y_0 \int_p^r (I+A(\kappa) \,d\kappa) & = Y_0 \lim \prod_1^m \{I+(\kappa_\nu-\kappa_{\nu-1}) A(\xi_\nu)\}\\ & = Y_0 \lim \prod_1^m e^{(\kappa_\nu-\kappa_{\nu-1}) A(\xi_{\nu-1})}.\end{aligned} \]
Dieses existiert unabhängig von der Wahl der Intervallteilung \((p, \kappa_1, \kappa_2,\ldots, \kappa_{m-1},\kappa_m = r)\) und der Zwischenprodukte \(\xi_{\nu-1}\) \((\kappa_{\nu-1}\leq \xi_{\nu-1}<\kappa_\nu)\), sobald die Matrix \(A\) eine beschränkte Schwankung hat. Ist \(A(\kappa)\) stetig, so gilt \[ \frac{dY}{d\kappa}=YA\,.\tag{1} \]
Es werden Differentiations- und Integrationsregeln aufgestellt. Schließlich werden auch Lebesguesche Integrale betrachtet, die mit Hilfe von stückweise konstanten, fast überall approximierenden Matrices gebildet werden und fast überall dem Differentialsystem (1) genügen. Die bekanntesten Sätze über \(L\)-Integrale werden auf diese Produktintegrale übertragen.

MSC:
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
Keywords:
analysis
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Full Text: DOI EuDML