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Über die Ränderzuordnung bei konformen Abbildungen. (German) Zbl 0001.01902
Die Arbeit behandelt vor allem das Randverhalten der Ableitungen einer im Einheitskreise (E.K.) \(| z| < 1\) regulären Funktion \(w = f(z)\), welche diesen auf gewisse einfach zusammenhängende Gebiete \(G\) abbildet. Im 1. Kapitel wird zunächst der bekannte Satz von Fatou über die Existenz von Randwerten einer im E.K. beschränkten analytischen Funktion auf dem von C. Carathéodory [Math. Ann. 73, 305–320 (1913; JFM 44.0757.01)] angegebenen Wege bewiesen. Daran werden einige (z. T. bekannte) Folgerungen geknüpft: Die in \(| z| < 1\) reguläre Funktion \(f(z)\) hat fast überall auf \(| z|=1\) bei nichttangentieller Annäherung Randwerte \(f(e^{i\theta})\), wenn a) \(\text{Re}\, f(z)\geq 0\) in \(| z| < 1\) oder b) \(\int_0^{2\pi} | f(re^{i\theta})|\,d\theta < k\) für alle \(r\) mit \(0<r<1\) gilt, wo \(k\) von \(r\) frei ist ([A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Inaug. Diss. Gießen 1923, Mitt. Math. Sem. Gießen, Heft 10, 36 S. (1923; JFM 49.0204.02)]; s. auch die zitierte Arbeit von F. Riesz), oder c) \(f(z)\) in \(| z| < 1\) schlicht ist. Im Falle b) ist \(f(e^{i\theta})\) integrabel.
Im 2. Kapitel, in dem die eigentlichen Untersuchungen beginnen, wird zunächst die Abbildung von Gebieten \(G\) mit rektifizierbarer Randkurve \(C\) systematisch behandelt und hierbei vor allem das Resultat gewonnen (von dem Teile bereits von anderen Autoren [F. Riesz und M. Riesz, C. R. du quatrième Congr. des Math. Scand., Stockholm 1916, 27–44 (1916; JFM 47.0295.03); F. Riesz, Math. Z. 18, 87–95 (1923; JFM 49.0225.01), siehe insbesondere S. 94, 95; L. Bieberbach, Berl. Ber. 1924, 181–188 (1924; JFM 50.0640.01)] her bekannt sind): \(f(z)\) sei in \(| z| < 1\) regulär und schlicht. Dann ist notwendig und hinreichend dafür, daß der Rand des Bildgebietes von \(f(z)\) eine stetige, rektifizierbare Kurve ist, daß \(\int_0^{2\pi} | f(re^{i\theta})| r\,d\theta < l\), \(l> 0\), für alle \(r < 1\) gilt. Wenn die Länge der Kurve \(=l\) ist, so sind die Längen \(l_r\), sämtlicher ,,Niveaukurven” [d.h. der Kurven \(w = f(re^{i\theta})\), \(0\leq\theta\leq 2\pi\), \(0 < r < 1\), \(r\) fest] \(< 1\). Dann ist ferner \(f(z)\) in \(| z|\leq 1\) stetig, auf \(| z|= 1\) von beschränkter Variation, und die Totalvariation von \(f(z)\) auf \(| z|= 1\) ist \(=l\). Ferner gilt \(\lim_{r\to 1}l_r=l\). Schließlich hat \(f(z)\) auf \(| z|= 1\) fast überall Randwerte \(f'(e^{i\theta})\) bei nichttangentieller Annäherung, und \(| f'(e^{i\theta})|\), ist \(L\)-integrabel für \(0\leq\theta\leq 2\pi\).
Ferner wird der Begriff eines ,,Gebietes von beschränktem Umfang” definiert, und es wird gezeigt, daß die Klasse dieser Gebiete identisch ist mit der Gesamtheit der von einer geschlossenen rektifizierbaren Kurve berandeten Gebiete.
Weiterhin werden Abbildungen untersucht, bei denen \(G\) a) sternförmig in bezug auf einen Punkt, z. B. den Nullpunkt, und b) konvex ist. Es wird nach T. Radó [Math. Ann. 102, 428–429 (1929; JFM 55.0208.02); vgl. auch S. Takahashi, Jap. J. Math. 7, 161–162 (1930; JFM 56.0986.01)] bewiesen, daß bei der Abbildung die ,,Niveaukurven” sternförmig in bezug auf den Nullpunkt (hier ist \(f(0) = 0\)) bzw. konvex sind, wenn \(G\) diese Eigenschaft hat. Ferner existiert im Falle a) \(\lim f'(z)\) und im Falle b) \(\lim f'(z)\) und \(\lim f''(z)\) fast überall auf \(| z|= 1\) bei nichttangentieller Annäherung. Im Falle b) gibt es eine Konstante \(c < 0\), so daß für die so bestimmte Randfunktion \(\lim f'(z) = \psi(\theta)\) überall, wo sie existiert, \(|\psi(\theta)| \geq c\) gilt. Ferner ist \(|\psi(\theta)|\) integrabel, wenn \(G\) beschränkt ist.
Den Untersuchungen des 3. Kapitels liegen Gebiete \(G\) zugrunde, welche berandet sind von geschlossenen rektifizierbaren Jordan Kurven \(C\) mit ,,beschränkter Krümmung”, d. h. \(C\) besitzt stetige Tangente, die mit der positiven reellen Achse den Winkel \(\varphi(s)\), \(s\) Bogenlänge längs \(C\), einschließt, und es gilt \(|\varphi(s+h)-\varphi(s)|\leq k\cdot| h|\), \(k\) Konstante. Bildet \(w = f(z)\), \(| z| < 1\) auf ein solches Gebiet ab, so ist \(f'(z)\) in \(| z| \leq 1\) stetig [vgl. hierzu auch O. D. Kellogg, Trans. Am. Math. Soc. 13, 109–132 (1912; JFM 43.0889.01), s. insbesondere S. 122], auf \(| z| = 1\) total stetig. Ferner hat \(f''(z)\) auf \(| z|=1\) fast überall Randwerte \(f''(e^{i\theta})\) bei nichttangentieller Annäherung und \(| f''(e^{i\theta})|\,p\) ist für alle \(p > 0\) \(L\)-integrabel.
Zum Beweise wird zuerst gezeigt, daß \(\lim f'(z) = \psi(\theta)\) bei nichttangentieller Annäherung durchweg auf \(| z| =1\) existiert und absolut zwischen 2 positiven Schranken liegt. Dieser Teil des Beweises stützt sich auf den folgenden Satz von C. Carathéodory [Sitzungsber. Akad. Berlin 1929, 39–54 (1929; JFM 55.0209.02)]. (Der Satz gilt für Gebiete allgemeineren Charakters als hier angegeben, aber nur der angegebene Satz wird in der Arbeit benutzt.): Ist \(G\) ein von einer geschlossenen Jordan-Kurve \(C\) begrenztes Gebiet, und gibt es in einem Punkt \(P\) von \(C\) einen \(C\) von innen und einen von außen ,,berührenden” Kreis, so hat die Abbildungsfunktion \(f(z)\) von \(| z| < 1\) auf \(G\) in dem \(P\) entsprechenden Originalpunkt \(z_0\) auf \(| z|=1\) eine ,,Winkelderivierte” [d. h. \(\lim_{z\to z_0} f'(z)\) existiert bei nicht tangentieller Annäherung von \(z\) an \(z_0\)]. Die geometrische Voraussetzung der ,,beschränkten Krümmung” wird dabei in der Weise ausgenutzt, daß man unter dieser Annahme einen Kreis mit festem Radius längs \(C\) von ,,innen” und ,,außen” ,,abrollen” lassen und so die Konfiguration des Carathéodoryschen Satzes für jeden Punkt von \(C\) mit 2 festen Kreisen herstellen kann. Die eigentlichen Behauptungen des Satzes ergeben sich dann unter Zuhilfenahme des folgenden auch an sich interessanten Hilfssatzes über zueinander konjugierte trigonometrische Reihen:
Es sei \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)\) die Fouriersche Reihe der totalstetigen periodischen Funktion \(\chi(\theta)\) mit der Periode \(2\pi\) und einer von der Potenz \(p > 1\) integrablen Ableitung. Dann ist die konjugierte trigonometrische Reihe \(\sum_{n=1}^\infty (-b_n \cos n\theta + a_n \sin n\theta)\) die Fourier-Reihe einer totalstetigen Funktion \(\chi(\theta)\), die eine in der Potenz \(p\) integrable Ableitung hat. (Der Beweis dieses Hilfssatzes verwendet einen wichtigen Satz von M. Riesz [Math. Z. 27, 218–244 (1927; JFM 53.0259.02)] über konjugierte Potentialfunktionen.)
Im 4. Kapitel wird folgender Satz über die höheren Ableitungen von \(f(z)\) bewiesen:
Die Randkurve \(C\) von \(G\) habe die Eigenschaft, daß \(\varphi(s),\varphi'(s), \ldots,\varphi^{n-2}(s)\), \(n\geq 3\), totalstetig und \(\varphi^{n-1}(s)\) von der \(p\) ten Potenz, \(p > 1\), \(L\)-integrabel ist. Dann ist \(f^{(n-1)}(z)\) in \(| z| \leq 1\) stetig, auf \(| z| = 1\) totalstetig und \(f^{(n)}(z)\) hat fast überall Randwerte \(f^{(n)}(e^{i\theta})\) auf \(| z| = 1\) bei nichttangentieller Annäherung. Ferner ist \(| f^{(n)}(e^{i\theta})|\) von der \(p\)-ten Potenz \(L\)-integrabel.
Das 5. Kapitel bringt eine Reihe von interessanten Beispielen für das Verhalten von \(f'(z)\) bei der Abbildung konvexer und sternförmiger Gebiete am Rande des \(E.K.\) Sie zeigen, wie die Ausnahmemengen vom Maße \(0\) in den oben angegebenen Sätzen beschaffen sein können.

MSC:
30C35 General theory of conformal mappings
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References:
[1] Inauguraldissertation der philosophischen Fakultät Sektion II der Ludwig-Maximilians-Universität München.
[2] W. F. Osgood, Trans. of the Amer. Math. Soc.1 (1900), S. 310-314. · JFM 31.0420.01
[3] C. Carathéodory, Math. Annalen72 (1912). S. 107-144. · doi:10.1007/BF01456892
[4] P. Koebe, Journal f. Math.145 (1915), S. 177-223.
[5] L. Bieberbach, Konforme Abbildung, S. 94-108.
[6] P. Fatou, Acta Math.30 (1906), S. 366-368. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[7] W. F. Osgood und E. H. Taylor, Trans. of the Amer. Math. Soc.14, Nr. 2. S. 277-298, April 1913.
[8] C. Carathéodory, Math. Annalen73 (1913), S. 305-320. · JFM 44.0757.01 · doi:10.1007/BF01456720
[9] C. Carathéodory, Schwarz-Festschrift, Berlin 1914, S. 38-41.
[10] C. Carathéodory, Berl. Sitzungsber. 1929, S. 15-16. Einige Ergebnisse derletz-teren Arbeit finden sich bereits bei J. Wolff, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris183 (1926), S. 500-502.
[11] P. Painleve, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris112 (1891), S. 653-657.
[12] L. Lichtenstein, Arch. d. Math. u. Phys.25 (1917), S. 179.
[13] Lavrentieff, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris184 (1927), S. 1407, · JFM 53.0282.02
[14] M. und F. Riesz, Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 27-44.
[15] N. Lusin und J. Priwaloff, Annales de l’École Normale Sup.42 (1925), S. 156 bis 159. Dort findet man auch weitere Literaturangaben.
[16] P. Fatou,loc. cit.. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[17] Der Ausdruck ?Wege, die den Kreis nicht berühren? ist so zu verstehen: Wir ziehen nur solche Annäherungswege an den Punktz=e i? in Betracht, die im Innern eines Winkels liegen, dessen Spitze mit dem Punktez=e i? zusammenfällt und dessen Schenkel im Innern von |z|<1 liegen.
[18] Der hier angegebene Beweis stammt von C. Carathéodory,loc. cit.. · JFM 44.0757.01 · doi:10.1007/BF01456720
[19] Z. B. bei C. Carathéodory,loc. cit.. oder L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Band II, S. 148-150. · JFM 44.0757.01 · doi:10.1007/BF01456720
[20] Dieser Satz lautet folgendermaßen:Wenn f (z) in einem Winkelraum beschränkt ist und bei Annäherung an seine Ecke (z. B. längs einer Geraden) einem endlichen Grenzwert zustrebt, so strebt f (z) gleichmäßig gegen diesen Grenzwert, in jedem Teilwinkelraum. Der Satz befindet sich bei E. Lindelöf, Acta Soc. s. Fennicae46 (1915), Nr. 4.
[21] M. und F. Riesz. loc. cit. Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 27-44.
[22] A. Pleßner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen, Dissertation Gießen 1923, S. 16, Satz 5.
[23] E. Helly, Sitzungsber. der Wiener Akademie121 (1912), S. 265-297.
[24] Die erste Integraldarstellung von analytischen Funktionen mit einem positiven reellen Teil ist von G. Herglotz gegeben worden in den Berichten über die Verhandlungen der Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss. zu Leipzig, Math.-Phys. Kl.63 (1911), S. 508.
[25] C. Carathéodory, Schwarz-Festschrift, Berlin 1914, S. 29-30.
[26] loc. cit. Ber. des 4. skand. Mathematikerkongresses zu Stockholm 1916, S. 184.
[27] Der Beweis des Satzes stammt von P. Csillag, Math. és. phys. lapok26 (1917), S. 74-80.
[28] G. H. Hardy, Proc. Lond. Math. Soc. (2)14 (1915), S. 269-277.
[29] A. Pringsheim, Münch. Sitzungsber.30 (1900), S. 87.
[30] Diese Definition ist mir von Herrn Bochner freundlichst vorgeschlagen worden.
[31] Ein Streckenzug ist eine aus endlich vielen geradlinigen Strecken zusammengesetzte Kurve.
[32] Sogar mehrfach zu zählende Seiten sind in der Definition zugelassen.
[33] Der Ausdruck ?Niveaukurve des Gebietes? ist hier sowie im folgenden so zu verstehen: Man bilde das Gebiet konform auf einen Kreis |z|<1 ab. Die Bildkurven der konzentrischen Kreise |z|=r<1 bei dieser Abbildung heißen die Niveaukurven des Gebietes.
[34] C. Carathéodory,loc. cit. 3), S. 126.
[35] Diese Kurve kann auch mehrfach zu zählende Punkte enthalten.
[36] Daß wir hier den Nullpunkt bevorzugt haben, ist eine ganz unwesentliche Vereinfachung.
[37] T. Radó, Math. Annalen102 (1930), S. 428-429.Der Beweis wird dort für konvexe Gebiete ausgeführt, ist aber dem hier angegebenen ganz analog. · JFM 55.0208.02 · doi:10.1007/BF01782353
[38] E. Study, Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche, Leipzig, Teubner 1912. Ein sehr einfacher und eleganter Beweis des Satzes findet sich in der in Anm. 37) erwähnten Arbeit von T. Radó.
[39] Die leichte Rechnung, die zu dieser Formel führt, findet man z. B. bei G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I, 3. Kap., Aufg. 106, S. 105.
[40] Es kann sogar gezeigt werden, daß der Kreis vom Radius 1 der größte Kreis ist, der die im Satze 15 angegebene Eigenschaft besitzen wird. Die Aufsuchung des größten Kreises ist aber für unsere Zwecke belanglos.
[41] C. Carathéodory, loc. cit. 10) Berl. Sitzungsber. 1929, S. 5-9.
[42] Eine summierbare Funktion heißt von der KlasseL p , wenn diep-te Potenz des absoluten Betrages der Funktion nach Lebesgue integrierbar ist.
[43] Diese Schlußweise findet man bei E. W. Hobson,The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier’s series, Bd. II, S. 639-640.
[44] M. Riesz, Math. Zeitschr.27 (1928), S. 224-226. · JFM 53.0259.02 · doi:10.1007/BF01171098
[45] P. Fatou,loc. cit. 6), S. 384. · JFM 37.0283.01 · doi:10.1007/BF02418579
[46] C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen (1927), S. 556.
[47] loc. cit. 44), S. 224. · JFM 53.0259.02 · doi:10.1007/BF01171098
[48] loc. cit. Anm. 44), S. 224
[49] Eine derartige funktion findet man bei C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Kap. III, § 156.
[50] Ich verdanke diese Formel einer mündlichen Mitteilung von Herrn Professor Carathéodory.
[51] C. Carathéodory, Berl. Sitzungsber. 1920. S. 560-562. Vgl. auch Anm. 24) Sächs. Ges. d. Wiss. zu Leipzig, Math.-phys. Kl.63 (1911), S. 191.
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