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Mathematisches zur Strahlungsgleichgewichtstheorie der Fixsternatmosphären. (German) Zbl 0001.04101

Das Problem des physikalischen Aufbaues der äußeren Schichten eines Sternes, in denen keine Energiequellen vorausgesetzt werden, führt auf die Aufgabe der Bestimmung des Strahlungszustandes in einem absorbierenden und reemittierenden Medium, das an seinen Grenzen in vorgegebener Weise bestrahlt wird. Ist \(J(P,\vec s)\) die Strahlungsintensität als Funktion des Ortes \(P\) und der Eichtung \(s\), so genügt \(J\) den beiden fundamentalen Gleichungen der Strahlungstheorie:
1. der ,,Transportgleichung” und 2. der Gleichung des Strahlungsgleichgewichtes, die von Eddington und Schwarzschild herrühren und lauten:
\[ \frac{dJ(P,\vec s)}{ds}= \varepsilon(P) - \alpha(P) J(P,\vec s),\quad \operatorname{div}\mathfrak N = 0, \]
wobei \(\varepsilon(P)\) den Emissionskoeffizienten, \(\alpha(P)\) den linearen Absorptionskoeffizienten, \(\mathfrak N\) den Nettostromvektor bezeichnen. Aus diesen beiden Gleichungen folgt dann durch Integration:
\[ \frac{\varepsilon(P)}{\alpha(P)} = \frac1{4\pi} \int J(P,\vec s)\,d\Omega = \Phi(P), \]
wobei \(\Phi(P)\) als mittlere Strahlungsintensität angesehen werden kann. Mit Hilfe dieses Begriffes können dann die beiden fundamentalen Gleichungen geschrieben werden:
\[ \frac{dJ}{ds} = \alpha(\Phi - J), \tag{I} \]
\[ \Phi = \frac1{4\pi} \int J\,d\Omega.\tag{II} \]
Der Zustand des Strahlungsfeldes, das von 2 analytischen Flächen (innere Fläche \(S_i\), äußere Fläche \(S_a)\) begrenzt sein soll, wird dann aus der Lösung dieses Systems von Gleichungen bestimmt, wenn noch die physikalisch gegebenen Randbedingungen:
\[ J(P_a,\vec s) =0,\quad J(P_i,\vec s) = J_0 = \text{const}. \]
vorausgesetzt werden. Die Lösung ist unter gewissen physikalisch normalen Verhältnissen eindeutig und ergibt sich aus der linearen Integralgleichung
\[ \Phi(P) = L(\Phi)_P + J_0\cdot F(P), \]
wobei
\[ F(P) = \frac1{4\pi} \int e^{-\int-{\pi}^P \alpha\,ds}\,d\Omega, \quad L(\Phi) = \frac1{4\pi} \int \,d\Omega \int_{P_i}^P \Phi(\pi)\,de^{-\int_{\pi}^P \alpha\,ds} \]
gesetzt ist, die man erhält, falls man die Differentialgleichung (I) unter Beachtung der Randwerte integriert und den erhaltenen Wert von \(J\) in (II) einsetzt. Die lineare Integralgleichung kann hier mittels der Neumannschen Reihe gelöst werden.
Für den kugelsymmetrischen Fall, für den das Gebiet, das als Träger des Strahlungsfeldes fungiert, das Äußere einer Kugel ist, zeigt der Verf., daß bei sinngemäßer Abänderung der Randwerte ebenfalls die Lösung durch die Neumannsche Reihe gewonnen wird.
Für ein planparallel geschichtetes Medium (die Begrenzungen sind 2 Ebenen!) wird die Integralgleichung für die Funktion \(\Phi\):
\[ \Phi(\tau) = L(\Phi)_\tau + \frac12\cdot J_0\cdot Ei_2(\tau_0 - \tau), \]
wobei
\[ Ei_n(\tau) = \int_1^\infty \frac{e^{-\tau s}}{s^n} \,ds,\quad \tau>0 \]
ist und
\[ \tau = \int_0^x \alpha(x) \,dx \]
die optische Tiefe bezeichnet. Diese Integralgleichung ist bereits von Schwarzschild gefunden worden. Unter Heranziehung der Positivität des Operators \(L\), die der Verf. eingehend für seine Existenzbeweise ausnützt, konnte schon Schwarzschild zeigen, daß für \(\Phi(\tau)\) gilt:
\[ J_0\cdot \frac{\tau}{\tau_0+1} < \Phi(\tau) < J_0\cdot \frac{\tau+1}{\tau_0+1}. \]
Ferner erkannte er, daß für \(\tau_0\to\infty\) das ebene Modell des Äußeren eines Sternes einem wohlbestimmten Grenzzustand zustrebt. \(\Phi(\tau)\) muß in diesem Falle der singulären Integralgleichung:
\[ \Phi(\tau) = \frac12 \int_0^\infty \Phi(t)Ei(| \tau-t|) \,dt \]
genügen. Auch hier konnte der Verf. zeigen, daß bei entsprechend abgeänderten Grenzbedingungen eine eindeutig bestimmte positive Lösung existiert. Für Beweise hierfür beruft sich der Verf. auf seine früheren Arbeiten über den gleichen Gegenstand in der Z. Phys.

MSC:

85A20 Planetary atmospheres
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