Solution of the problem of Plateau. (English) Zbl 0001.14102

Douglas, Jesse

Trans. Am. Math. Soc. 33, 263-321 (1931).

Der Verf. gibt eine bis in alle Einzelheiten ausgeführte Darstellung seiner auszugsweise schon seit einigen Jahren publizierten Ideen zur Lösung des Plateauschen Problems: Durch eine vorgegebene geschlossene doppelpunktfreie Kurve \( C \) des dreidimensionalen Raumes eine Fläche kleinster Oberfläche zu legen. Nach Weierstrass kann diese Aufgabe darauf zurückgeführt werden, im Inneren des Einheitskreises \( E \) einer komplexen \( z \) -Ebene 3 reguläre Funktionen \( F_{i}(z) \) zu finden, so daß \[ \sum_{i=1}^{3} F_{i}^{\prime}(z)^{2}=0 \] wird und die Realteile von \( F_{i}(z) \) den Rand von \( E \) eindeutig umkehrbar und stetig auf \( C \) abbilden. J. Douglas erweitert diese Fragestellung, indem er \( C \) im \( n \) -dimensionalen Raume gelegen, stetig, doppelpunktfrei, sonst aber völlig beliebig nimmt und \( n \) in \( E \) reguläre Funktionen \( F_{i}^{\prime}(z) \) mit \( \sum F_{i}^{\prime}(z)^{2}=0 \) sucht (und findet), deren Realteile \( \operatorname{Re}\left(F_{i}(z)\right) \) den Rand von \( E \) stetig und umkehrbar eindeutig auf \( C \) abbilden. Da nach Poisson die Darstellung einer Potentialfunktion mit auf \( E \) gegebenen stetigen Randwerten bekannt ist, besteht die ganze Schwierigkeit in der richtigen Abbildung der Kreislinie auf \( C \); denkt man also erstere als im Intervall 0 bis \( 2 \pi \) periodische Vektorfunktion eines Parameters \( t \) geschrieben, während analog der Vektor mit den Komponenten \( g_{i}(\Theta) \) des allgemeinen Punktes von \( C \) periodisch von \( \Theta \) in \( 0 \leqq \Theta \leqq 2 \pi \) abhängen möge, so wird eine geeignete, umkehrbar eindeutige, stetige Funktion \( \Theta(t) \) gesucht. Verf. stellt hierzu das folgende Minimumproblem \[ A[\Theta]=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sum\left[g_{i}(\Theta(t))-g_{i}(\Theta(\delta))\right]^{2}}{\sin ^{2} \frac{t-s}{2}} d s d t \] \( A \) wird ein nach unten halbstetiges Funktional durch die an sich unwesentliche Festlegung dreier Werte \( \Theta\left(t_{1}\right), \Theta\left(t_{2}\right), \Theta\left(t_{3}\right) \) (entsprechend einer linearen Transformation des Einheitskreises \( E \) in sich); die Menge der zugelassenen \( \Theta(t) \) ist im wesentlichen schon kompakt und bekannte Häufungssätze für Funktionen anwendbar; es ergibt sich, wenn \( A \) überhaupt für das vorgelegte \( C \) endlicher Werte fähig ist, eine Grenzfunktion \( \Theta(t), \) von der gezeigt wird, daß sie eine umkehrbar eindeutige stetige \( \mathrm{Ab} \) bildung der Kreislinie auf \( C \) vermittelt und \( A \) zum Minimum macht. - Die Bildung der Variationsableitung von \( A, \) die nun den Übergang zum Nachweis der Gleichung \( \sum F_{i}^{\prime}(z)^{2}=0 \) bildet, wird infolge der Singularität des Integranden von \( A \) and der Eigenart der konkurrierenden Funktionen \( \Theta(t) \) vorsichtig mit explizit an-142 gegebenen abzählbar vielen Scharen von Variationen unternommen, von denen jede das Verschwinden genau eines Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung des Ausdruckes \( \sum_{i} F_{i}^{\prime}(z)^{2} \) um den Punkt \( z=0 \) liefert. - Übrigens ist das Minimum von \( A \) bis auf einen Zahlenfaktor gleich dem Flächeninhalt der in \( C \) eingespannten durch die Realteile von \( F_{i}(z) \) bestimmten Minimalfläche oder auch gleich dem über \( E \) erstreckten Doppelintegral von \( \sum_{i}\left|F_{i}^{\prime}(z)^{2}\right| . \) Falls \( C \) so beschaffen, daß \( A \) nicht endlich sein kann, ergibt Approximation durch Polygone das anfangs genannte Hauptresultat. - Der Fall einer ebenen \( C(n=2) \) in der Douglasschen Formulierung ergibt eine sehr einfache Lösung des Riemannschen Abbildungssatzes, aus der die Osgood-Caratheodorysche Ränderzuordnung ohne Zusatzüberlegung herausspringt, da hier die Methode eben gerade in der Aufsuchung der richtigen Randabbildung besteht, während die Verhältnisse im Innern durch das Poissonsche Integral geregelt werden. - Die übrigens sehr klar dargestellte - Arbeit benutzt nur Tatsachen, die auch sonst für die Analysis von fundamentaler Bedeutung sind, und ist daher eine für sich allein verständliche und vollständige Lösung des – vom Verf. noch verallgemeinerten – Plateauschen Problems.

Reviewer: Hans Lewy (Göttingen).

MSC:

53A10	Minimal surfaces in differential geometry, surfaces with prescribed mean curvature
49Q20	Variational problems in a geometric measure-theoretic setting

Keywords:

variational calculus