Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (German) Zbl 0001.14902

Kolmogoroff, A.

Math. Ann. 104, 415-458 (1931).

L’auteur étudie les procès physiques stochastiquement définis, c’est à dire tels, que la connaissance de l’état \( X_{0} \) du système à un moment donné détermine la distribution des probabilités des états possibles \( X \) du système à un moment quelconque \( t>t_{0} . \) Ce qui caractérise cette étude, c’est la considération de la variation continue du temps \( t, \) tandisqu’habituellement on envisage seulement des valeurs du temps \( t \) formant une suite discrète \( t_{1}, t_{2}, \ldots t_{n}, \ldots \) Dans le premier chapitre l’auteur se place dans le cas le plus général, où les états possibles forment un ensemble mésurable quelconque; il donne ici des conditions suffisantes très générales pour la validité du principe ergodique qui comprennent comme cas particuliers celles qui ont été obtenues par M. M. Hadamar d et Hostinsky. Dans les second et troisième chapitres il forme des équations différentielles ordinaires auxquelles satisfont les fonctions de distribution, lorsque les états possibles du système appartiennent à un ensemble fini ou dénombrable. Ces équations correspondent aux équations aux différences finies employées, après A. Markoff, par M. Romanowsky, et on obtient au sujet des distributions limites des résultats analogues à ceux qui ont été obtenus par ces mathématiciens. Dans le 4me chapitre, en généralisant la méthode employée par M. Lind berg pour établir le théorème limite de Laplace-Liapounoff, l’auteur réussit à former dans des conditions assez générales deux équations aux dérivées partielles du type parabolique auxquelles satisfont les fonctions de distribution des probabilités dans le cas, où les états possibles constituent un ensemble continu. Ces équations formant une extension des équations trouvées antérieurement (sans démonstration suffisante) par M. Bachelier, sont étudiées dans des cas particuliers, oú par un changement de variables elles peuvent se raméner à l’équation de le chaleur à coefficients constants à laquelle satisfait la fonction classique de Laplace. Pour le cas général, la question de l’existence et de l’unicité de la solution de ces équations, d’après les données initiales, reste ouverte.

Reviewer: S. Bernstein (Charkow)

MSC:

60-01

Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to probability theory

Keywords:

probability theory

References:

[1]	Ein wohlbekanntes Beispiel für diese Methode wird dadurch gegeben, daß man in der Beschreibung des Zustandes eines mechanischen Systems nicht nur die Koordinaten seiner Punkte, sondern auch die Komponenten ihrer Geschwindigkeiten einführt.
[2]	I. Théorie de la spéculation. Ann. de l’École norm.17 (1900), p. 21. II. Les probabilités à plusieurs variables, ibid27 (1910), p. 339. III. Calcul des probabilités 1912.
[3]	Über diese Begriffe sowie über die additiven Mengensysteme usw. siehe z. B.: M. Fréchet, Sur l’intégrale d’une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, Bull. de la Soc. Math. de France43 (1915), p. 248.
[4]	Siehe 2) I. Théorie de la spéculation. Ann. de l’École norm.17 (1900), p. 21.
[5]	Comptes rendus186 (1928), S. 59, 189, 275.
[6]	Siehe 5) Comptes rendus186 (1928), S. 59, 189, 275.
[7]	Vgl. mit den im Kap. IV betrachteten FunktionenF (s, x, t, y), welche fürt=s notwendig Unstetigkeitspunkte besitzen.
[8]	Man könnte auch umgekehrt (47 a) und (50) a priori voraussetzen und daraus die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit vonP i j (s, t) nacht beweisen.
[9]	Wahrscheinlichkeitstheorie, S. 141 (russ.).
[10]	Leçons sur l’intégration, 2. Ausg., S. 261.
[11]	Siehe z. B.: P. Lévy, Calcul des probabilités, S. 187.
[12]	Math. Zeitschr.15 (1922), S. 211.
[13]	Siehe Fußnote 2) I und III Théorie de la spéculation. Ann. de l’École norm.17 (1900), p. 21. Calcul des probabilités 1912.
[14]	Siehe 2) II Les probabilités à plusieurs variables, ibid.27 (1910), p. 339.