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Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren. (German) Zbl 0001.24703

Die Arbeit behandelt die Frage, ob und in welchem Sinn behauptet werden kann, daß ein irreduzibles System von zwei hermitischen Operatoren \( P, Q \) bis auf unitäre Transformationen festgelegt sei durch die quantenmechanische „Vertauschungsregel“ \[ P Q-Q P=\frac{h}{2 \pi i} \] Eine Formulierung, welche das Problem angreifbar gemacht hat (in der ursprünglichen Formulierung (1) ist das Problem nicht klar präzisiert, weil für \( P, Q, \) unbeschränkte Operatoren in Betracht kommen, die nicht überall definiert sind), ist von Weyl angegeben worden: Man bilde aus \( P, Q \) die unitären Operatoren \[ U(\alpha)=e^{\frac{2 \pi i}{h} \alpha P} ; \quad V(\beta)=e^{i \beta Q_{\xi}} \] \( (\alpha, \beta \) reelle Zahlen); formale Operatorenrechnung führt dann zu den Beziehungen \[ U(\alpha) U(\beta)=U(\alpha+\beta) ; \quad V(\alpha) V(\beta)=V(\alpha+\beta) ; \quad U(\alpha) V(\beta)=V(\beta) U(\alpha) \cdot e^{i \alpha \beta} \] Die Frage, ob die Lösung dieses Gleichungssystems (2) durch ein irreduzibles System unitärer Operatoren eindeutig sei (bis auf eine unitäre Transformation), besitzt nun einen völlig definierten Sinn. Durch die vorliegende Arbeit wird sie in positivem Sinne entschieden. Der Beweis ist auch übertragbar auf das entsprechende Eindeutigkeitsproblem für die quantenmechanischen Vertauschungsregeln eines Systems von mehreren „Impulsoperatoren“\( P_{k} \) mit zugehörigen „Koordinatenoperatoren“\( Q_{k} \). Die Beweismethode besteht in einer sinngemäßen Übertragung der Frobeniusschen Behandlung endlicher Gruppen mittels ihrer ,charakteristischen Einheiten ” und der von Peter und Weyl ausgeführten Untersuchung abgeschlossener kontinuierlicher Gruppen mittels ihrer „Gruppenzahlen“; eine Methode, die eben dadurch anwendbar geworden ist, daß das Problem in der durch (2) gegebenen Formulierung \( \mathrm{zu} \) einem gruppentheoretischen Darstellungsproblem geworden ist.

Keywords:

quantum theory
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References:

[1] Vgl. Born-Heisenberg-Jordan, Zeitschr. f. Phys.34 (1925), S. 858-888, ferner Dirac, Proc. Roy. Soc.109 (1925) u. f. Besonders in der letztgenannten Darstellung ist die Rolle dieser Relation fundamental. Einen interessanten Versuch zur Begründung des im folgenden zu diskutierenden Eindeutigkeitssatzes machte Jordan, Zeitschr. f. Phys.37 (1926), S. 383-386. Indessen beruht dieser auf Konvergenzannahmen über Potenzreihen unbeschränkter Operatoren, deren Gultigkeitsbereich fraglich ist. · doi:10.1007/BF01328531
[2] Dieselbe bewirkt ein Ersetzen vonP, Q durchU P U ?1,U Q U ?1, wodurch weder der Hermitesche Charakter noch das Bestehen der Vertauschungsrelation berührt wird.
[3] Vgl. Schrödinger, Annalen d. Phys.79 (1926), S. 734-756. · doi:10.1002/andp.19263840804
[4] Vgl. Weyl, Zeitschr. f. Phys.46 (1928), Seite 1-46.
[5] Vgl. E. Schmidt, Rend. Circ. Mat. Palermo25 (1908), S. 57-73, ferner die Arbeit des Verf., Math. Annalen102 (1930), S. 49-131, an die die Bezeichnungsweise anlehnt. · doi:10.1007/BF03029116
[6] Vgl. auch a. a. O. Anm. 7) Math. Annalen102 (1930), S. 94, Anm. 52). · doi:10.1007/BF03029116
[7] Vgl. Frobenius, Berl. Ber. 1896 u. f., Peter und Weyl, Math. Annalen96 (1926), S. 737-755.
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