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Tauberian theorems. (English) Zbl 0004.05905
Nachdem N. Wiener in einer früheren Abhandlung [J. Math. Phys., Mass. Inst. Technol. 8, 161–184 (1928; JFM 54.0241.01)] die Theorie der Fourierschen Transformierten in den Problemkreis der Mittelungsumkehrsätze (Tauberian theorems) eingeführt hatte, wird hier der gleiche Gegenstand ausführlicher und auf einer breiteren Basis erneut behandelt. Dadurch gewinnt die Wienersche Schlußweise zwar an Länge, aber auch an Durchsichtigkeit. Die verbreiterte Basis wird im Kap. I entwickelt: Neben einer Funktion \(f(x)\), die in \(-\infty< x < +\infty\) zur Lebesgueschen Klasse \(L_2\) gehört, wird die Verschiebungsmenge (class of translations) \(f(x+\lambda)\) betrachtet und hinsichtlich ihrer Vollständigkeit (closure) untersucht; die Menge wird als vollständig bezeichnet, wenn für jede Funktion \(F(x)\) aus \(L_2\) und jedes \(\varepsilon > 0\) eine Linearverbindung
\[ \Phi(x)=A_1 f(x+\lambda_1) +\ldots + A_uf(x+\lambda_u) \] vorhanden ist derart, daß \(\int_{-\infty}^{+\infty} | F(x) - \Phi(x)|^2 \leq \varepsilon^2\) ausfällt. Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Vollständigkeit ergibt sich, daß die reellen Nullstellen der Fourierschen Transformierten von \(f(x)\),
\[ g(u) \lim_{A\to\infty} \frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^{+A} f(x) e^{iux}\,dx, \]
das Maß Null haben.
Für die Theorie der Mittelungsumkehrsätze von zentraler Bedeutung ist die schwieriger zu beweisende entsprechende Aussage für die Klasse \(L_1\). Dort erhält man als notwendige und hinreichende Bedingung für die Vollständigkeit, daß die Fouriersche Transformierte keine reellen Nullstellen besitzt.
Kap. II liefert den Satz, der zusammen mit den Ergebnissen des Kap. I alles Wesentliche zur Erledigung der Mittelungsumkehrsätze ausmacht: Es sei \(f(x)\) beschränkt und meßbar, \(K(x)\) aus \(L_1\), und die Fouriersche Transformierte von \(K(x)\) besitze keine reellen Nullstellen. Es sei ferner
\[ \lim_{x\to\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)K(\xi-x)\,d\xi=A \int_{-\infty}^{+\infty} K(\xi)\,d\xi.\tag{*} \]
Dann ist für jede Funktion \(\mathrm K(x)\) aus \(L_1\):
\[ \lim_{x\to\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)\mathrm K(\xi-x)\,d\xi=A\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm K(\xi)\,d\xi.\tag{**} \]
Vom methodischen Standpunkte aus ist es von größter Wichtigkeit, daß dieser Satz sich umkehren läßt: Wenn unter sonst gleichen Voraussetzungen aus (*) immer (**) folgt, dann besitzt die Fouriersche Transformierte von \(K(x)\) keine reellen Nullstellen. In der Tat besagen Satz und Umkehrung zusammen in verkappter Form, daß die Wienerschen Bedingungen für die Gültigkeit eines Umkehrsatzes nicht bloß hinreichend, sondern (mit nebensächlichen Einschränkungen) auch notwendig sind.
Die weiteren Entwicklungen bringen Anwendungen der allgemeinen Theorie zur Gewinnung der bekannten und einiger neuen Umkehrsätze, ferner des Primzahlsatzes auf dem direkten Wege über Lambertsche Reihen, ein Weg übrigens, der sich wesentlich von dem unterscheidet, der in der genannten früheren Note des Verf. eingeschlagen wurde. Hier wie dort sind die funktionentheoretischen Hilfsmittel die gleichen: Regularität von \(\zeta(z)\) auf \(\sigma=1\), mit Ausnahme der Stelle \(z=1\), und Nullstellenfreiheit von \(\zeta(z)\) auf \(\sigma=1\).
[In der vorliegenden und der früheren Note des Verf. findet sich die Bemerkung, Hardy und Littlewood hätten die Äquivalenz des Primzahlsatzes mit dem Umkehrsatz für Lambertsche Reihen bewiesen; dies ist dahin zu berichtigen, daß aus dem \(O-L\to K\)-Satze zwar sofort der Primzahlsatz in der Gestalt \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} = 0\) folgt, daß aber Hardy und Littlewood zum Beweise des Umkehrsatzes wesentlich mehr benutzt haben als den Primzahlsatz, nämlich \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}= O\left(\frac 1{(\log m)^2}\right)\Bigr]. \]
Neben weitgehenden Verschärfungen der Methode und Erweiterungen der Problemstellung werden insbesondere Fragen der Summation trigonometrischer Entwicklungen behandelt.
Contents:
Introduction (1–6).
Chapter I. The closure of the set of translations of a given function.
1. Closure in class \(L_2\). 2. Closure in class \(L_1\). 3. A sub-class of \(L_1\).
Chapter II. Asymptotic properties of averages.
4. Averages of bounded functions. 5. Averages of bounded Stieltjes distributions. 6. Averages of unilaterally bounded distributions and functions.
Chapter III. Tauberian theorems and the convergence of series and integrals.
7. The Hardy-Littlewood condition. 8. The Schmidt condition.
Chapter IV. Tauberian theorems and prime number theory.
9. Tauberian theorems and Lambert series. 10. Ikehara’s theorem.
Chapter V. Special applications of Tauberian theorems.
11. On the proof of special Tauberian theorems. 12. Examples of kernels for which Tauberian theorems hold. 13. A theorem of Ramanujan. 14. The summation of trigonometrical developments. 15. Young’s criterion for the convergence of a Fourier series. 16. Tauberian theorems and asymptotic series.
Chapter VI. Kernels almost of the closed style.
17. The reduction of kernels almost of the closed cycle to kernels of the closed cycle. 18. A Tauberian theorem of Hardy and Littlewood. 19. The Tauberian theorem of Borel summation.
Chapter VII. A quasi-Tauberian theorem.
20. The quasi-Tauberian theorem. 21. Applications of the quasi-Tauberian theorem.
Chapter VIII. Tauberian theorems and spectra.
22. A further type of asymptotic behavior. 23. Generalized types of summability. 24. Some unsolved problems.
Bibliography (94–100).
Reviewer: R. Schmidt (Kiel)

MSC:
40E05 Tauberian theorems
11M45 Tauberian theorems
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