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Theorie des projektiven Zusammenhangs \(n\)-dimensionaler Räume. (German) Zbl 0004.12906

Keywords:
geometry
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References:
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[10] J. A. Schouten u. St. Gol?b, Über projektive Übertragungen und Ableitungen, I. Math. Zeitschr.32 (1930), S. 192-214, II. Annali di Mat. (4)8 (1931), S. 141-157. (Die erste dieser Abhandlungen wird mit Sch. u. G. zitiert.) · JFM 56.0627.02
[11] , S. 207.
[12] Für die Analysis der Dichten vgl. J. A. Schouten u. V. Hlavatý, Zur Theorie der allgemeinen linearen Übertragung, Math. Zeitschr.30 (1929), S. 414-432. Vgl. auch Fußnote 18). · JFM 55.1029.03
[13] J. A. Schouten, Der Ricci-Kalkül, Berlin: Julins Springer 1924. Zitiert mit R.K.
[14] . Sch. u. G. § 6, Veblen u. Hoffmann, S. 811 und die ebendort zitierten Arbeiten von H. Mandel und J. H. C. Whitehead. · JFM 52.0732.02
[15] Der Index links oben bezeichnet den ?Punktwert? des Raumes (vgl. P. H. Schoute, Mehrdimensionale Geometrie, Sammlung Schubert, I, S. 12), d. h. die Dimensionszahl plus Eins. Einen Raum mit Punktwertn+1 nennen wir wie in der Invariantentheorie (n+1)-är (binär, ternär usw.).
[16] Diesesx 0 entspricht deme x 0 von Veblen, pp. 140-160., [6] O. Veblen. A generalisation of the quadratic differential form, the Quarterly Journal of Math., Oxford Series1 (1930), pp. 60-76.; [7] O. Veblen u. B. Hoffmann. Projective Relativity, Physical Review39 (1930), pp. 810-822. (Zitiert mit Veblen [1], ..., [7].) · JFM 56.0630.03
[17] Eine solche sei wohl unterschieden von einerlinearen Funktion. Letztere hat die Gestalta ? x ?, wo diea ? Konstanten sind; erstere kann auch (aber nicht eindeutig) in diese Gestalt gebracht werden; diea ? sind dann aberbeliebige Funktionen von den Verhältnissen derx ?.
[18] Mit dem Begriff ?Grad eines Affiners? (R. K. S. 23),, d. h. also eigentlich Grad der zugehörigenForm (Anzahl der Indizes), manchmal auch Stufe genannt, hat unser Gradbegriff nichts zu tun. Er erscheint hier zum erstenmal im gewöhnlichenelementaren Sinne (Grad der Bestimmungszahlen, alsFunktionen der Urvariablen betrachtet) in der Differentialgeometrie, wo man sich bisher um die Art der funktionalen Abhängigkeit der Größen von den Urvariablen (bis auf Differenzierbarkeits-bzw. Analytizitätsforderungen) gewöhnlich nicht kümmerte.
[19] Wir gebrauchen den Ausdruck ?Affingeometrie? in Gegensatz zur projektiven (Differential-) Geometrie für dieallgemeine lineare Übertragung III A ? nach der Klassifizierung im R. K.,. alsoohne Rücksicht auf die Symmetriebedingung.
[20] In R. K.,, S. 42, wurde die nicht-verschwindende Bestimmungszahl des Einheits-n-Vektors gleich 1/n! anstatt=1 gewählt. Wir haben den Faktor geändert, weil es mehr üblich ist, für die Volumeinheit einParallelotop als einSimplex mit Seite =1 zu wählen. Die Formeln (29) bis (32) würden sonst auch etwas weniger einfach ausfallen.
[21] Die Bedingung, daß der Grad=1 sein sein soll, kann auch hier weggelassen werden. · JFM 55.1029.03
[22] Vgl. die ?erste Normierungsbedingung? (193) R.K., S. 157; entsprechend Fußnote 21) ist der Faktor anders gewählt als in R. K.
[23] Die Numerierung mit römischen Ziffern bezieht sich auf § 11.
[24] Während sich bei uns der Grad einer Größe bei kovarianter Differentiation um Eins vermindert, ist bei Veblen das ?Gewicht? (weight) einer Größe bei kovarianter Ableitung invariant. Vgl. dazu § 14, 49.
[25] Außer wenn man sich auf unimoduläre (oder wenigstens konstantmoduläre) Transformationen beschränkt und entsprechend ?Dichten? einführt, was in den meisten älteren Darstellungen geschieht. · JFM 55.1029.03
[26] Dennoch dürfte die Annahme IV mit zu den wesentlichsten Merkmalen einer wirklichprojektiven Differentialgeometrie gehören. Denn ohne sie wird in jeder örtlichen n+1 E ein kovarianter PunktQ ?, also eine n E, ausgezeichnet, die man als das ?Unendlichferne? der n+1 E auffassen kann; die Geometrie erhält dadurch im kleinen doch wieder gewissermaßen affinen Charakter.
[27] . S. 85.
[28] , S. 87.
[29] , S. 88.
[30] , S. 91.
[31] Die Theorie von Sch. u. G. gehört zum SpezialfallU ??=0 (vgl. § 14,49). Weil die älteren Darstellungen sich als Spezialfälle der Sch. u. G.schen auffassen lassen und überdies die neuere, in § 14,47 erwähnte Veblensche Theorie zum selben Spezialfall gehört, gilt auch dort überallU ??=0.
[32] Vgl. D. van Dantzig, Die Wiederholung des Michelson-Versuchs und die Relativitätstheorie, Math. Annalen96 (1926), S. 261-283, insbesondere § 7, Metrik und Physik. · JFM 52.0922.06
[33] ., pp. 205-241. · JFM 52.0721.03
[34] Vgl. J. A. Schouten. · JFM 52.0721.03
[35] Vgl. J. A. Schouten, On infinitesimal deformations ofV m inV n , Amsterdam, Proceedings Kon. Ak.31 (1928), S. 208-218.
[36] Der Begriff ?Inhalt? ist affiner, nicht projektiver Natur. Die Bedingung (186) korrespondiert aber mit der Bedingung für. Inhaltstreue im affinen Fall.
[37] Die Symmetriebedingung V? kann hier nicht durch V? ersetzt werden, weil dann wegen IIb, III, IV?, IV? auch III? gelten würde, so daß die Substitution (190) unmöglich würde.
[38] Die zugehörige Funktionalmatrix wird durch (218), (219) gegeben.
[39] Veblen S. 144.
[40] Veblen, S. 145.
[41] Dort mitE A c bezeichnet ( S. 200).
[42] , S. 209.
[43] [Eingegangen am 6. 1. 1932.]
[44] Nach einem Vorschlag von J. A. Schouten verwenden wir das Wort Valenz zum Unterschied vom Homogenitätsgrad zur Bezeichnung des Begriffes, der bisher (Z. B. im R. K.. S. 23) ?Grad? genannt wurde.
[45] Der Exzeß ist identisch mit der Zahl, die Veblen (auf ganz anderem Wege) eingeführt und anfangs, S. 147] mit ?weight?, später [6O. Veblen A generalisation of the quadratic differential form, The Quarterly Journal of Math., Oxford Series1 (1930), S. 61] mit ?index? bezeichnet hat. Weil beide Wörter schon in anderen Bedeutungen vorkommen, haben wir das Wort ?Exzeß? vorgezogen.
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