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Über Riemannsche Flächen mit endlich vielen Windungspunkten. (German) Zbl 0004.35504


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References:

[1] F. Nevanlinna:Über die Anwendung einer Klasse uniformisierender Transzendenten zur Untersuchung der Wertverteilung analytischer Funktionen (Acta mathematica, B, 50, 1927, S. 159–188). · JFM 53.0300.02
[2] Eine nähere Besprechung der fundamentalen Eigenschaften der linear polymorphen Funktionen {\(\zeta\)}(w; a 1,...a q ) findet man beiF. Nevanlinna:Über die Anwendung einer Klasse uniformisierender Transzendenten zur Untersuchung der Wertverteilung analytischer Funktionen (Acta mathematica, B. 50, 1927).
[3] Im folgenden sollen überhaupt alle Indizes auf ihre Reste moduloq reduziert werden.
[4] A. Speiser:Probleme aus dem Gebiet der ganzen transzendenten Funktionen (Commentarii, Math. Helvetici, Bd. I, 1929). · JFM 55.0189.01
[5] Im folgenden soll ein dem Grundpunkta v , entsprechender Eckpunkt der KreisbogenpolygoneBa undBi kurz mitv bezeichnet werden.
[6] Zur Erläuterung der in obiger Konstruktion vorgenommene speziellen Massregeln sei folgendes hinzugefügt. Die Forderung, dass ein ”freies Randstück” stets an eine nicht freie Seite grenzen soll, bewirkt dass die geschlossene FlächeG, welche durch Identifizierung der zugeordneten Randpunkte entsteht,einfach zusammenhängend wird. Die weitere Bedingung, dass nach einer endlichen Anzahl kranzförmiger Erweiterungen an den äussersten Polygonen immer nurein neues Polygon geheftet werden soll, hat wiederum zur Folge, dass die Anzahl der logarithmischen Enden der Riemannschen FlächeG endlich wird. Lässt man diese zwei speziellen Bedingungen fallen, so würde man durch die obige Konstruktion überhaupt alle über den Grundpunktenw=av logarithmisch verzweigten Riemannschen Flächen erhalten.
[7] Sh bezeichnet hier wieder die parabolische Substitution der GruppeS, welche den Eckpunkt {\(\zeta\)} h des kernvierecks invariant lässt (h=1,...4).
[8] Die Mehrfachkeit dieser Stellen ist genau gleich 2n+1, falls das Kernpolygon keine ”Durchmesser” enthält.
[9] E. Hille:Zero point problems for linear differential equations of the second order (Matematisk Tidskrift, B, N:0 2, 1927) undOn the zeros of the functions of the parabolic cylinder (Arkiv för matematik, astronomi och fysik, B. 18, N:0 26, 1924).
[10] Hille bezeichnet solche Lösungen als ”truncated solutions” vgl. z. B. die erste der auf S.345 zitierten Arbeiten, S. 29.
[11] Diese Zusammenhänge habe ich eingehend in den S. 342 zitierten Vorlesungen behaudelt.
[12] In der zweiten, auf S. 345 zitierten Arbeit vonHille findet man einige Bemerkungen über die FlächeF 4 im Falle, wu der Parameter {\(\delta\)} reell ist.
[13] Vgl. hierzu:A. Hurwitz–Sur les points critiques des fonctions inverses (Comptes rendus, T. 143, 1906, p. 877 und T. 144, 1907, p. 63),F. Iversen.–Sur une fonction entière dont la fonction inverse présente un ensemble de singularités transcendantes de la puissance du continu (Öfversigt af Finska Vet.-Soc. Förh., B. 58, 1915–1916), sowie die erste von den auf S. 345 zitierten Arbeiten vonE. Hille.
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