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Knot theory. (Knotentheorie.) (German) Zbl 0005.12001

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Bd. 1, No. 1. Berlin: Julius Springer. vi, 74 S., 114 Fig. (1932).
Die Darstellung legt konsequent die Definition eines Knotens mit Hilfe einer regulären Projektion, d. h. mittels eines nur mit endlich vielen einfachen Doppelpunkten behafteten ebenen Polygons zugrunde; den Deformationen des Knotens entsprechen dann Abänderungen der Projektion, die sich aus drei Elementaroperationen zusammensetzen lassen.
Das erste, einführende Kapitel „Knoten und ihre Projektionen“ enthält unter anderem den Zusammenhang mit den Zöpfen, die wichtige Einteilung der von der Projektion begrenzten Gebiete in zwei Klassen, die jeweils nur Doppelpunkte der Projektion gemeinsam haben, und die Angabe einiger spezieller näher untersuchter Knotenklassen – wie Brezel-, Schlauch- und alternierende Knoten.
Im zweiten Kapitel „Knoten und Matrizen“ werden aus der Projektion berechenbare Knoteninvarianten als Invarianten, vor allem Elementarteiler, gewisser aus der Projektion ablesbarer Matrizen gegenüber Anwendung besonderer Transformationen erklärt, die den erlaubten Abänderungen der Projektion entsprechen; vor allem die „Torsions allen“ und die Invarianten der „L-Matrix“, wie das Alexandersche L-Polynom. Zum Verständnis der Natur dieser Invarianten dient der im dritten Kapitel „Knoten und Gruppen“ gelieferte Nachweis, daß sich diese Invarianten ihrerseits aus der Gruppe des Knotens (Fundamentalgruppe des Knotenaußenraumes) berechnen lassen. Insbesondere charakterisiert die L-Matrix einfach die größte Abelsche Faktorgruppe der Kommutatorgruppe des Knotens. Wesentlich ist hierbei das vom Verf. begründete allgemeine Verfahren, erzeugende und definierende Relationen von Untergruppen aufzustellen.
Die Fundamentalgruppe wird formal der Knotenprojektion zugeordnet; den erlaubten Abänderungen der Projektion entsprechen spezielle Übergänge zu neuen Erzeugenden der Gruppe, womit gleichzeitig ein Invarianzbeweis für die Gruppe geliefert wird. Nicht aus der Fundamentalgruppe berechenbar sind einige Invarianten der ebenfalls in Kap. II aufgestellten quadratischen Form des Knotens, d. h. Invarianten gegenüber gewissen evtl. sogar die Variablenzahl ändernden Transformationen dieser Form. Solche Invarianten sind insbesondere die Determinante der Form und gewisse „Minkowskische Einheiten“. Die Determinante erweist sich vor allem für die Untersuchung alternierender und verwandter Knoten als geeignet; erwähnt sei von den Ergebnissen dieser Untersuchungen z. B., daß sich die Existenz von Knoten ohne alternierende Projektion nachweisen läßt, und daß man stets entscheiden kann, wann ein alternierender Knoten ein Kreis ist. Die Minkowskischen Einheiten ermöglichen in vielen Fällen, einen Knoten als von seinem Spiegelbild verschieden nachzuweisen; so ergibt sich ein von dem Dehnschen verschiedener Beweis für die Nichtisotopie der beiden Kleeblattschlingen.
Das dritte Kapitel enthält u. a. noch den Zusammenhang von längs des Knotens verzweigten überlagerungsräumen mit zur Fundamentalgruppe des Knotens isomorphen Permutationsgruppen und im Fall einer Knotengruppe von zwei Erzeugenden die Konstruktion einer invariant mit dem Knoten verknüpften Verkettungsgruppe, deren Invarianten also neue Knoteninvarianten sind. Es werden viele Spezialfälle und Beispiele vorgeführt, ferner Tabellen der Knoten mit Projektionen von höchstens neun Überkreuzungen und mehrerer zugehöriger Invarianten, sowie ein Literaturverzeichnis seit dem Enzyklopädieartikel von Dehn und Heegaard.

MSC:

57K10 Knot theory
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes