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Zur Approximation algebraischer Zahlen. I: Über den grössten Primteiler binärer Formen. (German) Zbl 0006.10502
Der Thue-Siegelsche Satz macht folgende Aussage über die Approximation einer reellen algebraischen Zahl vom Grade \(n\) durch rationale irreduzible Brüche \(p/q\): Es gibt höchstens endlich viele solche Brüche, für die
\[ \left| \zeta- \frac pq\right| \leq \frac 1{q^\beta} \]
ist, wo
\[ \beta = \beta(\varepsilon)= \text{Min}_{1\leq \nu\leq n-1}\left(\frac{n}{\nu+1}+\nu+\varepsilon\right),\quad \varepsilon> 0 \text{ beliebig}. \]
Diese Approximation läßt sich auffassen als Approximation im Sinne einer archimedischen Bewertung des durch \(\zeta\) erzeugten algebraischen Zahlkörpers \(K\), und zwar einer solchen, die einer reellen unendlichen Primstelle \(\mathfrak P\) von \(K\) zugeordnet ist. Neben solchen Approximationen stehen vom arithmetischen Standpunkt aus völlig gleichberechtigt die Approximationen nach den übrigen Bewertungen von \(K\), also den nichtarchimedischen Bewertungen, die den endlichen Primstellen (Primidealen) \(\mathfrak P\) von \(K\) entsprechen, und auch noch den archimedischen Bewertungen, die den komplexen unendlichen Primstellen \(\mathfrak P\) von \(K\) entsprechen. Mahler studiert nun die gleichzeitige Approximation einer algebraischen Zahl \(\zeta\) vom Grade \(n\) im Sinne von endlich vielen Bewertungen ihres Körpers \(K\), gegeben durch endlich viele Primstellen \(\mathfrak P_0, \mathfrak P_1, \dots, \mathfrak P_t\) von \(K\), und zwar beschränkt er sich auf den Fall, daß eine dieser Primstellen, \(\mathfrak P_0\), unendlich and reell (sozusagen vom Grade \(1\)), die anderen \(\mathfrak P\) endlich und vom Grade \(1\) sind. \(\zeta\) ist dann also für \(\mathfrak P_0\) eine reelle algebraische Zahl (eine gewöhnliche reelle konjugierte zu \(\zeta\)), für die übrigen \(\mathfrak P_\tau\) je eine \(P_\tau\)-adische Zahl, wo \(P_\tau=N(\mathfrak P_\tau)\) die zugehörige rationale Primzahl ist. Er beweist dann die folgende Verallgemeinerung des Thue-Siegelschen Satzes:
Ist \(n\geq 3\), \(k\geq 1\) eine fest gegebene Zahl and \(\beta\) der oben erklarte Siegelsche Exponent, so gibt es höchstens endlich viele rationale irreduzible Brüche \(p/q\), für die
\[ \text{Min}\left(1, \left| \zeta - \frac pq\right|_{\mathfrak P_0}\right)\cdot \prod_{\tau=1}^t \text{Min} (1, | q\zeta - p|_{\mathfrak P_\tau})\leq k \frac 1{\Max(| p|, | q|)^\beta} \]
ist.
Der Beweis stützt sich auf das grundlegende Produkttheorem: \(\prod_{\mathfrak P} |\alpha|_{\mathfrak P} = 1\), wo \(\alpha\neq 0\) eine Zahl aus \(K\) ist, \(\mathfrak P\) alle Primstellen von \(K\) durchläuft und \(|\alpha|_{\mathfrak P}\) die (passend normierten) zugehörigen Bewertungen von \(\alpha\) bezeichnet. Aus diesem Produkttheorem fließt die Ungleichung \(| N(\alpha)| \cdot \prod_{\tau=1}^t|\alpha|_{\mathfrak P_\tau} \geq 1\) für ganze \(\alpha\neq 0\), die bei der Mahlerschen Verallgemeinerung dieselbe Rolle spielt wie die Ungleichung \(| N(\alpha)| \geq 1\) für ganze \(\alpha\neq 0\) bei der Approximation im Sinne des gewöhnlichen absolutes Betrages allein.
Als Folgen aus dem angeführten Approximationssatz ergeben sich die Tatsachen:
Für eine irreduzible ganzrationalzahlige Binärform \(F(x,y)\) vom Grad \(n\geq 3\) und endlich viele gegebene Primzahlen \(P_1, \dots, P_t\) gilt für das größte Potenzprodukt \(Q(p,q)\) der \(P_\tau\), das in \(F(p,q)\) aufgeht: Die Ungleichung
\[ \frac{| F(p,q)|}{Q(p,q)} \leq k\, \text{Max} (| p|, | q|)^{n-\beta} \]
hat höchstens endlieh viele ganzrationale teilerfremde Lösungen \(p, q\).
Insbesondere: Hat \(F(x,y)\) im Körper der komplexen Zahien mindestens drei verschiedene Linearfaktoren, so wächst der größte Primteiler \(P\) von \(F(p,q)\) für ganzrationale teilerfremde \(p,q\) mit \(\text{Max} (| p|, | q|)\) über alle Grenzen; hier kann \(F(x,y)\) auch reduzibel sein.

MSC:
11J68 Approximation to algebraic numbers
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
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Full Text: DOI EuDML
References:
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