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Über stetige Deformationen von Komplexen in sich. (German) Zbl 0006.42203


Keywords:

topology
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References:

[1] Beweis: § 1.
[2] Beweis: §3, a.
[3] Beweis: §3, d fürn=2, §4 fürn?3.
[4] Beweis: §2.
[5] Beweis: § 3, f.
[6] Beweis: § 4.
[7] Beweis: § 1 fürn=1, § 4 fürn?3.
[8] Beweis: § 3, e. ? Daß die Dimension 2 bei derartigen Abbildungssätzen eine Ausnahmestellung einnimmt, war bekannt; man vgl. §7 der unter 16) zitierten Arbeit.
[9] Herr K. Borsuk machte uns darauf aufmerksam, daß die Zusammenziehbarkeit vonC 2 in allgemeinen Sätzen seiner Theorie der ?Retrakten? enthalten ist: (1) K. Borsuk, Sur. les. rétractes, Fund. Math.17 (1931), (2) N. Aronszajn et K. Borsuk, Sur la somme et le produit combinatoire des rétractes absolus. Fund. Math.18 (1932). Man zeigt nämlich mit Hilfe des Satzes 2 aus (2) leicht, daßC 2 ein absoluter Retrakt ist, und dann ergibt sich die Zusammenziehbarkeit auf einen Punkt aus dem Korollar des Satzes27 aus (1).
[10] H. Hopf, Beiträge zur Klassifizierung der Flachenabbildungen, Crelles Journal165 (1931), Satz III a.
[11] Unter der ?Unverzweigtheit?, die wir im folgenden von jeder Überlagerung voraussetzen, wird die Eigenschaft verstanden, daß die durch die Überlagerung bewirkte Abbildung im Kleinen topologisch ist.
[12] H. Hopf, Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Crelles Journal163 (1930), Sätze II a, II c, II d.
[13] H. Hopf, Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Moskauer Math. Samml.37 (1930), Satz IIIa. ? Dort wird zwar die algebraische Unwesentlichkeit nicht nur in einem einzelnen SimplexX, sondern in ganzK vorausgesetzt; beim Beweise benutzt wird sie aber nur für ein Simplex. (Der ?Satz IV?, der am Schluß des Beweises herangezogen wird, wird nur für den festen Wert 1 des Indexk angewandt.)
[14] H. Hopf, Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, 2. Teil, Math. Ann.102 (1929), Satz XIIIa.?Dort wird zwar vorausgesetzt, daßC eine Mannigfaltigkeit ist; benutzt wird die Mannigfaltigkeitseigenschaft (mitn?3) aber nur in der Umgebung des Punktesp (und zwar beim Beweise von ?Hilfssatz III?); diese Voraussetzung ist in unserem Falle erfüllt.
[15] Der Satz ist gleichbedeutend mit dem folgenden: Hatp in bezug auf das durchg gelieferte Bild der Randsphäre vonY? die Ordnung 0, so läßt sich die zunächst nur auf diesem Rande erklärte Abbildungg zu einer Abbildung vonY? erweitern, bei derp nicht zur Bildmenge gehört. Beweis: H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Ann.96 (1926); ein kurzer Beweis ist dort in den beiden letzten Abschnitten der S. 224 enthalten. Der Satz ist im wesentlichen mit dem einfachsten Fall (Satz II?) des unter 10) zitierten Satzes II identisch.
[16] Fürn=2 in § 3, d, bewiesen.
[17] Fürn=1 im § 1 bewiesen.
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