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Some observations on the concepts of \(\omega\)-consistency and \(\omega\)-completeness. (Einige Betrachtungen über die Begriffe der \(\omega\)- Widerspruchsfreiheit und der \(\omega\)-Vollständigkeit.) (German) Zbl 0007.09703

MSC:
03Bxx General logic
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References:
[1] Monatsh. f. Math. u. Phys. 38, 1931, SS. 173–198.
[2] Auf die Bedeutung dieser beiden Begriffe und die damit im engen Zusammenhang stehende Schlußregel der unendlichen Induktion (auf welche ich noch weiter unten zu sprechen komme) habe ich bereits im Jahre 1927 auf der II. Polnischen Philosophentagung in Warschau in dem VortragÜber die Begriffe der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit hingewiesen, ohne übrigens für diese Begriffe besondere Termini vorzuschlagen; daselbst habe ich auch das Beispiel eines widerspruchsfreien und doch nicht {\(\omega\)}-widerspruchsfreien Systems mitgeteilt, das ich in leicht veränderter Form in dem vorliegenden Aufsatze anführen werde. Selbstverständlich soll dadurch keineswegs gesagt werden, daß ich schon damals die zuletzt von Gödel a. a. O. gewonnenen Resultate gekannt oder nur geahnt hätte; im Gegenteil, habe ich persönlich die zitierte Arbeit Gödels als erstklassige wissenschaftliche Sensation empfunden.
[3] 2. Edition, Cambridge 1925–1927.
[4] Vgl. meine Arbeiten:Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen (polnisch; erscheint demnächst in den Travaux de la Soc. d. Sc. et d. L. de Varsovie) undSur les ensembles définissables de nombres réels I (Fund. Math. XVII, 1931, SS. 210–239), wo ich mich derselben, bzw. einer ganz ähnlichen Sprache bedient habe.
[5] Das Negationszeichen ist im Grunde entbehrlich und dient lediglich zur Vereinfachung der Betrachtungen. Was die Symbolik anbetrifft, vgl. J. Łukasiewicz und A. Tarski,Untersuchungen über den Aussagenkalkül (C. R. des séances de la Soc. d. Sc. et d. L. de Varsovie XXIII, Classe III, 1930, SS. 30–50).
[6] Dieser letzte Urbegriff ließe sich durch den Begriff ”das von Anfang an n te Zeichen des Ausdrucks {\(\zeta\)}” ersetzen. Das Symbol ”A” kann mittels den übrigen Urbegriffen definiert werden.
[7] Im Sinne von O. Veblen; vgl. seinen Aufsatz:A system of axioms for geometry, Transact. of the Amer. Math. Soc. 5, 1904, SS. 343–381.
[8] Der Ausdruck ”Aussagenfunktion” würde hier besser passen; der Ausdruck ”Aussage” sollte für diejenigen Aussagenfunktionen reserviert bleiben, welche keine freien Variablen enthalten (s. unten Def. 6).
[9] Vgl. die unter 5) zitierte Mitteilung von Łukasiewicz und Tarski,Untersuchungen über den Aussagenkalkül (C. R. des séances de la Soc. d. Sc. et d. L. de Varsovie XXIII, 1930, SS. 30–50).
[10] Vgl. hierzu meine Abhandlung:Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften. I (Monatsh. f. Math. u. Phys.,37, 1930, SS. 361–404), wo die Termini ”S” und ”Fl” als einzige Urbegriffe auftreten und die Teilea), b), d) des Satzes 1 zum Axiomensystem gehören. Im Zusammenhang mit den S. 2 und 3 vgl. auch meine Mitteilung:Über einige fundamentalen Begriffe der Metamathematik (C. R. des séances de la Soc. d. Sc. et d. L. de Varsovie XXIII, 1930, Classe III, SS. 22–29).
[11] Zwischen der oben angegebenen Definition der {\(\omega\)}-Widerspruchsfreiheit und derjenigen von Gödel bestehen gewisse rein formelle Unterschiede; sie erklären sich ausschließlich dadurch, daß in der hier in Frage stehenden formalen Sprache spezifische Symbole zur Bezeichnung der natürlichen Zahlen nicht vorkommen. Es läßt sich leicht zeigen, daß bezüglich des Gödelschen ”SystemsP” (und sämtlicher umfassenderen Systeme) beide Formulierungen äquivalent sind.
[12] S * kann als die Menge aller Aussagen bezeichnet werden, die in jedem Individuenbereiche ausn+1 Elementen allgemeingültig sind.
[13] Übrigens finden wir dieselben Schwierigkeiten bei dem Problem der {\(\omega\)}-Widerspruchsfreiheit des SystemsT{\(\omega\)}: aus der positiven Lösung dieses Problems würde nämlich die Widerspruchsfreiheit des SystemsTfolgen, während eine negative Lösung ganz unwahrscheinlich vorkommt.
[14] Im Gegensatz zu allen anderen Schlußregeln läßt sich die Regel der unendlichen Induktion nur dann anwenden, wenn es gelungen ist zu zeigen, daß sämtliche Aussagen einer bestimmten unendlichen Folge zu dem konstruierten System gehören. Da aber in jeder Entwicklungsphase des Systems nur eine endliche Anzahl der Aussagen uns ”effektiv” gegeben ist, kann dieser Tatbestand lediglich auf dem Wege metamathematischer Überlegungen festgestellt werden. – Die besprochene Schlußregel wurde in letzter Zeit u. a. von D. Hilbert erörtert in dem Aufsatz: Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre, Math. Ann.104, 1931, SS. 485–494. · Zbl 0001.26001
[15] Die zuletzt angedeuteten Probleme werden näher diskutiert in der in Fußnote4) erwähnten Arbeit über den Wahrheitsbegriff; vgl. auch meine Mitteilung unter den gleichen Titel im Akad. Anzeiger Nr. 2, Akad. der Wiss. in Wien, 1932.
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