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Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen. (German) Zbl 0007.14903
Es wird bewiesen, daß eine Permutationsgruppe \(\mathfrak G\) vom \(n\)-ten Grade, die einen Zyklus der Ordnung \(n\) enthält und nicht zweifach transitiv ist, imprimitiv ist, sofern \(n\) keine Primzahl ist, und für jedes \(n\) eine invariante Untergruppe besitzt, die eine von \(E\) verschiedene Potenz des Zyklus enthält. (Für Primzahlpotenzwerte von \(n\) sind diese Sätze von Burnside bewiesen.) Der Beweis benutzt keine Gruppencharaktere; gebraucht wird erstens, daß der Ring derjenigen Matrizen \(n\)-ten Grades, die mit allen zu den Permutationen von \(\mathfrak G\) gehörigen Matrizen vertauschbar sind, dann und nur dann genau zwei linear unabhängige Elemente besitzt, wenn \(\mathfrak G\) zweifach transitiv ist; und es werden zweitens die Elemente einer n. V. in \(\mathfrak G\) enthaltenen transitiven (zunächst noch nicht notwendig zyklischen) Untergruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(n\) als Vertauschungssymbole für die Permutationen von \(\mathfrak G\) benutzt, und gewisse sich dabei ergebende Komplexe aus den Elementen von \(\mathfrak H\) untersucht.
Es wird dir Beispiel dafür angegeben, daß \(\mathfrak G\) im Falle einer nichtzyklischen abelschen Untergruppe \(\mathfrak H\) primitiv und nur einfach transitiv sein kann.

MSC:
20B05 General theory for finite permutation groups
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