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Über das Dirichletsche Problem im Großen für nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen. (German) Zbl 0007.20804

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Serge Bernstein, Sur la généralisation du problème de Dirichlet. Math. Annalen69 (1910), S. 82-136; théorème A, S. 126. · JFM 41.0427.02
[2] J. Schauder, Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Math. Annalen106 (1932), S. 661-721. · Zbl 0004.35001
[3] Die hier postulierte Eigenschaft soll also die Eindeutigkeit zum Ausdruck bringen. Es genügt übrigens die Eindeutigkeit für (?, ?) mit ?kleinen? ? zu fordern.
[4] Die Variablez kann in den KoeffizientenA, B, C vorkommen.
[5] ?loc. cit., S. 119-125. · JFM 41.0427.02
[6] Der Inhalt dieser Arbeit wurde in der Note: Sur le problème de Dirichlet généralisé pour les équations non linéaires du type elliptique [C. R.195 (1932), S. 201 203] kurz zusammengefaßt. Über eine ältere Fassung der vorliegenden Resultate habe ich bereits im Jahre 1931 in einer Sitzung der poln. math. Gesellschaft (Abt. Lwów) refcriert.
[7] Das abgeschlossene Gebiet, d. h. Gebiet + Rand nennen wir auch Bereich.
[8] T. Rado, Geometrische Betrachtungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme. Act. Lit. ac. Scient., Szeged (1924-1926), S. 228-253, und J. v. Neumann, Über einen Hilfssatz der Variationsrechunung. Abhandl. d. Math. Sem. Hamburg8 (1931), S. 28-31.
[9] Unter |8??8?| verstehen wir in diesem Paragraphen die kürzeste Entfernung der beiden Punkte längs des RandovalsR.
[10] Eine Numerierung dieser Art ist immer möglich.
[11] Vgl. z. B. Blaschke, DifferentialgeometrieI, 1921 (Verlag Springer), Erste Auflage, S. 7-9. · JFM 48.0870.03
[12] Li (f) bezcichnet die kleinste Lipschitz-Konstante der Funktionf.
[13] ?Vgl. loc. cit.. · JFM 41.0427.02
[14] Es dürfte wahrscheinlich die zweimalige Hölder-stetige Differentiierbarkeit der Randwerte ? (s) genügen.
[15] ?loc. cit., S. 119-123. · JFM 41.0427.02
[16] E. Hopf, Über den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Math. Zeitschr.34 (1931), S. 194-233, insbesondere Satz 2 und 3, S. 209-210. · Zbl 0002.34003
[17] ?loc. cit., S. 123-125. · JFM 41.0427.02
[18] Vgl. z. B. L. Lichtenstein, Randwertaufgaben der Theorie der linearen, partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus I. Die erste Randwertaufgabe: ?Allgemeine ebene Gebiete?. Journ. f. d. reine u. angew. Mathematik142 (1912), S. 1-40, insbesondere S. 35-40. · JFM 43.0447.03
[19] Ich bemerke, daß eine Abschätzung der dritten und höheren AbleitungenD n (z) nicht notwendig ist. Übrigens folgt leicht aus dem Hilfssatze 11 meiner unter (2) zitierten Arbeit, daß auch die dritten AbleitungenD 3 (z) existieren und sich samt ihren Hölder-Konstanten abschätzen lassen, sobald eine solche Abschätzung für die zweiten AbleitungenD 2 (z) und ihre Hölder-Konstanten bekannt ist.
[20] Dies bedeutet genauer Max |a ikk |??;Li|(a ik )|??. Es genügt ?a ik ??+??M vorauszusetzen.
[21] Einen Bericht über die Sätze dieser Arbeit findet man z. B. in meinen Noten C. R. 195, 27. XII. 1932, S. 1365 und C. R. 196, 9. I. 1933, S. 89. Es handelt sich um den Satz II der ersten Note. Aber noch besser wäre es, sich auf den Satz III dieser Note zu stützen. Er besagt, da?, falls man bei einer quasilinearen Differentialgleichung die ersten AbleitungenD 1 z und die Hölder-KonstantenH D 1 z abschätzen kann, da? man dann auchD 2 z undH D 2 z abschätzen kann. Die Möglichkeit der Abschätzung vonH D 1 z ist aber wegen (15a) in unserem Falle offensichtlich. Die hier gegebenen Abschätzungen gelten für beliebige quasilineare Differentialgleichungen (12a).
[22] Vgl. loc. cit. 2),, Satz IV’, S. 705. · Zbl 0004.35001
[23] Das hei?t, ist im abgeschlossenenK zweimal Hölder-stetig differentiierbar.
[24] Loc. cit. 1) · JFM 41.0427.02
[25] Würde man die Möglichkeit der Abschätzung a priori auch der dritten Ableitungen fordern, so wäre der Satz leicht zu beweisen. Übrigens kann man eine analoge Behauptung auch dann aufstellen, wenn es sich nicht umalle Funktionenpaare (?, ?) handelt, sondern nur solche, welche in dem Funktionenraume der Paare (?, ?) einezusammenhängende und schwachabgeschlossene [vgl. die in der Fu?note 2) zitierte Arbeit] Menge ergeben.
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