×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Struktur von Alternativkörpern. (German) Zbl 0010.00403

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] M. Zorn: Theorie der alternativen Ringe [Hamb. Abhandl.8 (1930)], zitiert mit Z. M. Zorn: Alternativkörper und quadratische Systeme [Hamb. Abhandl.9 (1933)]. Vergl. auch R. Moufang: Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit (D 9) [Hamb. Abhandl.9 (1933)]. Zitiert mit M1. · JFM 59.0154.01
[2] Siehe Z.,, S. 127 ff. Zorn bezeichnet als ?Satz von Artin? die etwas schwächere Aussage, daß in einem alternativen Ring irgend zwei Elemente einen assoziativen Ring erzeugen. Aber da es leicht ist, vom Ring auf den Schiefkörper zu schließen, und da sich bei Zorn selbst alles vorfindet, um den assoziativen Ring innerhalb des Alternativkörpers in einen Schiefkörper einzubetten, bezeichnen wir der Einfachheit halber als Satz von Artin den im Text gegebenen Satz.
[3] Siehe Z., S. 127 ff.
[4] Der Übergang von der freien Gruppe zum Schiefkörper ist fürR * (a, b) durchgeführt in R. Moufang: Die Desarguesschen Sätze vom Rang 10 (Math. Annalen108 (1933) S. 306 ff.) Zitiert mit M2. · Zbl 0006.21704 · doi:10.1007/BF01452838
[5] Siehe Z.,, S. 125.
[6] Daß in I? (8) gilt, ist bewiesen in Z.,. S. 142. Daß in I (8’) gilt, ist bewiesen in M1, S. 216 ff.
[7] Siehe Z.,, S. 125 ff.
[8] Siehe Z.,,S. 142.
[9] Siehe M2, S. 298 ff. · Zbl 0006.21704 · doi:10.1007/BF01452838
[10] Siehe Anm. 4)..
[11] Hier benutzen wir zum ersten Mal die Identität (5) von S. 420.
[12] Siehe Anm. 4).. Wir bemerken hier, daß der in § 3 über die QuasigruppeQ ** bewiesene Satz folgende Verallgemeinerung gestattet: Sei ? ein Element, daß mit allen Elementen einer QuasigruppeQ ** inverticrbar und assoziierbar ist.a, b, c vonQ **, die der Relationa(b c)=?(a b) c genügen, ein Teilsystem erzeugen mit der Eigenschaft, daß zwei Potenzprodukte ina, b, c,die aus gleich vielen bzw. gleichen Faktoren komponiert sind. aber nach Maßgabe des nicht assoziativen Aufbaus eines Produktes innerhalbQ ** verschieden beklammert sind, sich nur um eine Potenz von ? unterscheiden. Für ?=1 gibt dies den in §3 bewiesenen Satz. Für ?=?1 gewinnt man die Formel (3) von S. 220 in M1, falls noch vorausgesetzt wird, daß die Relationenac=?b a, ac=?ca, bc=?cb bestehen. In einem Alternativkörper sind \(\pm\)1 die einzig möglichen Werte für ?.
[13] Siehe M2, S. 296 ff. · Zbl 0006.21704 · doi:10.1007/BF01452838
[14] D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (7. Aufl.), S. 110.
[15] R. Moufang: Ein Satz über die Schnittpunktsätze des allgemeinen Fünfecksnetzes (Math. Annalen107 (1932), S. 124 ff.). · Zbl 0004.41101 · doi:10.1007/BF01448885
[16] D. Hilbert, l. c. Grundlagen der Geometrie (7. Aufl.), S. 110., S. 93.
[17] Siehe M1,, S. 207 ff. u und Anm. 20). · Zbl 0007.07205 · doi:10.1007/BF02940648
[18] Siehe M1,. S. 208.
[19] R. Moufang: Die Schnittpunktsätze des projektiven speziellen Fünfecksnetzes in ihrer Abhängigkeit voneinander. (DasA-Netz) (Math. Annalen106 (1932), S. 768 ff.). Die PunkteX b ,X p ,X r ,X q in der dortigen Fig. 25 entsprechen den PunktenX b ,X a X B ,X b X c ,X a X b X c in der jetzt gewählten Bezeichnungsweise. · JFM 58.0600.02 · doi:10.1007/BF01455910
[20] Siehe Z.,, S. 126.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.