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Über die stetigen Abbildungen der Strecke. (German) Zbl 0010.27601

Keywords:
topology
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References:
[1] [a, b] bedeutet stets ein abgeschlossenes Intervall.
[2] Also istC k in sich von zweiter Kategorie. Alle Relativbegriffe beziehen sich im folgenden auf den RaumC k bzw.R k.M k heißt eine Residualmenge, wennC k-M von erster Kategorie ist. Ich benutze oft–ohne sie immer ausdrücklich zu erwähnen–die triviale Tatsache, daß der Durchschnitt von höchstens abzählbarvielen Residualmengen wieder eine Residualmenge ist. Mit dem Zeichen bzw. {\(\sigma\)} bezeichne ich auch die Entfernung eines Punktes von einer Punktmenge inC k bzw.R k usw. {\(\delta\)} (A) ist der Durchmesser der PunktmengeA. Fürf{\(\epsilon\)}C k ,A0,1] istf (A) die Menge aller Punktef (t){\(\epsilon\)}R k mitt{\(\epsilon\)}A; stattf([a, b]) schreiben wir auch einfacherf[a,b]. Die Menge aller PunkteQ, eines metrischen Raumes, deren Entfernung von einem PunkteP kleiner als eine positive Zahlr ist, heißt eine Kugel dieses Raumes (mit dem MittelpunktP und dem Radiusr). Kugeln des RaumesR 2 heißen auch Kreise.
[3] Wenn ausa 1<t 2 folgtf(t 1 (t 2) sagen wir auch, daßf in [a, b] schlicht ist.
[4] Eine Kurve ist ein eindimensionales Kontinuum.
[5] Ein Bogen ist ein topologisches Bild der Strecke.
[6] Ein PunktP heißt ein irregulärer Punkt der KurveK, wenn es ein {\(\eta\)}>0 gibt mit folgender Eigenschaft: IstU eine Umgebung vonP mit {\(\delta\)} (U)<{\(\eta\)}, so ist der Durchschnitt der KurveK mit der Begrenzung vonU eine unendliche Menge.
[7] Dadurch ist freilichh(t) für alle reellent definiert; wir betrachten aber weiter die Funktionh als eine Funktion in [0, 1].
[8] InR 2 sind bekanntlich die nirgendsdichten Kontinua mit den Kurven identisch.
[9] Ein rationales Quadrat der EbeneR 2 ist die Menge aller Punkte (x 1,x 2), welche den Ungleichungena 1+d, b 2+d mit rationalena, b, d (d>0) genügen.
[10] Hier und im folgenden darf in der Bezeichnung [a, b] die Zahla eventuell auch den rechten, die Zahlb den linken Endpunkt des Intervalls [a, b] bedeuten. Wir setzen im folgendeng(t)=(g 1 (t), g 2 (t)); h(t)=(h 1 (t), h 2 (t)).
[11] Vgl. die Fig. 2, wom=4,s=2 ist.
[12] Die Möglichkeit einer solchen Konstruktion ist klar (man beachte, daßg({\(\Delta\)}) eineinfacher Streckenzug ist); vgl. die Fig. 2, wo der Falls=2,m=4,n=3 dargestellt ist.
[13] Auf der Fig. 2 sind die ”ersten” Endpunkte durch kleine Kreise markeirt.
[14] IstT’ i=Ti+1, so ist zwarh(T’ i) zweimal definiert: erstensh (T’ i)=g(T’i), zweitens sollh(T i+1) der erste Endpunkt der StreckeS i+10 0 sein; dieser Endpunkt ist aber genau der Punktg(T> i+1)=g(T’i), so daß beide Definitionen im Einklang sind.
[15] Fürt=T i folgt es daraus, daßh( i) der erste Endpunkt der StreckeS i0 0 ist.
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