×

zbMATH — the first resource for mathematics

Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen als Permutationsgruppen. (German) Zbl 0011.24904
Es werden alle dreifach transitiven Permutationsgruppen vom Grade \(n+1\) konstruiert, die die kleinstmögliche Ordnung \((n+1) \cdot n \cdot (n-1)\) haben. Die Gesamtheit aller Kollineationen \(z' = \frac{ax+b}{cz+d}\) mit Koeffizienten aus einem Galoisfeld \(K\) mit \(n\) Elementen ergibt eine Gruppe von Permutationen der \(n\) Körperelemente und des Symbols \(\infty\), die die genannten Eigenschaften besitzt. Die Zahl \(n\) ist hier eine Primzahlpotenz. Dazu kommt nun noch eine weitere Klasse von derartigen Permutationsgruppen \(M_n\), die definiert ist, wenn \(n\) das Quadrat einer ungeraden Primzahlpotenz ist. Im Spezialfall \(n = 9\) ist \(M_n\) die von Mathieu gefundene dreifach transitive Permutationsgruppe.
Beim Beweis und bei der Konstruktion von \(M_n\) spielt der Begriff des Fastkörpers eine Rolle. Darunter wird eine nichtleere Menge \(K\) von Elementen mit folgenden Eigenschaften verstanden:
1. In \(K\) ist eine assoziative und umkehrbare Addition definiert.
2. Für die Elemente \(a\) einer nichtleeren Teilmenge \(M\) von \(K\) ist ein rechtsseitiges Produkt \(ax\) mit den Elementen \(x\) von \(K\) definiert. Dabei soll \(M\) mit \(a\) und \(b\) auch \(ab\) enthalten, und es soll \(a(bx) = (ab)x\) gelten. Aus \(ax = 0\) soll \(x = 0\) folgen; aus \(ax = bx\) und \(x\ne 0\) soll \(a = b\) folgen.
3. Es ist \(a(xy)=ax+ay\). Die Gesamtheit der Transformationen \(\pi(z) = az + b\) \((a\) in \(M\), \(b\) in \(K)\) liefert eine Gruppe von Permutationen der Elemente von \(K\).
Alle transitiven Permutationsgruppen, bei der jede Permutation eindeutig durch das Bild von zwei Permutationssymbolen festgelegt ist, können in dieser Weise erhalten werden. Durch Hinzunahme einer weiteren Permutation, die eine Reihe von Bedingungen zu erfüllen hat, kann man dann die zweifach transitiven Permutationsgruppen konstruieren, in denen jede Permutation eindeutig durch das Bild von drei Permutationssymbolen bestimmt ist.

MSC:
20B20 Multiply transitive finite groups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI