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On the foundation of abstract algebra. I. (English) Zbl 0012.00501

Der Zweck der Arbeit ist, verschiedene Theorien der abstrakten Algebra durch weitere Abstraktion der zugrunde gelegten Systeme auf eine gemeinsame Grundlage zu stellen. Als neuer Begriff wird die “Struktur” eingefuhrt: ein System von Elementen \(A, B, \dots,\) in dem die Relationen des Enthaltenseins \(B< A\) (oder \(A> B)\) mit den Eigenschaften \(A> A\), aus \(A > B > C\) folgt \(A > C\); des Durchschnittes \((A, B)\) mit den Eigenschaften \((A, B)\leq A\), \((A, B)\leq B\), aus \(C < A\), \(C < B\) folgt \(C < (A, B)\); und des Kompositums \([A, B]\) mit den Eigenschaften \(A \leq [A, B]\), \(B\leq [A, B]\), aus \(A < C\), \(B < C\) folgt \([A, B] < C\) gegeben sind. Gilt für irgend zwei Elemente \(A, \)B der Struktur entweder \(A < B\), \(A = B\) oder \(A > B\), so heißt sie eine Kette.
Die algebraisch bedeutsamen Strukturen erhält man durch Hinzufügung weiterer Axiome. Zunächst sind da gewisse Endlichkeitsaxiome:
Endlichkeits-Bedingung für fallende Ketten: Eine Folge \(A = A_0> A_1> A_2 \dots\) von Elementen der Struktur, die alle ein Element \(B\) enthalten: \(B < A_i\), hat nur endlich viele Elemente;
Endlichkeits-Bedingung für steigende Ketten: Ist \(B = B_0 < B_1 < B_2 < \ldots < A\), so ist die Anzahl der \(B_i\) endlich.
Andere Axiome haben die Bedeutung der Einfiihrung gewisser Relationen.
Dedekindsches Axiom: Aus \(C > \bar C\), \((C, D)= (\bar C,D)\), \([C, D]=[\bar C,D]\) folgt \(C = \bar C\).
Stärker einschränkend: Aus \((C, D) = (\bar C, D)\) und \([C, D] = [\bar C,D]\) folgt \(C= \bar C\) (arithmetisches Axiom).
Beide Axiome können auf viele verschiedene Weisen ausgedrückt werden, z. B. kann das Dedekindsche Axiom in die Form gebracht werden: Ist \(A < C < [A, B]\), so ist \(C = [A, (B, C)]\) oder auch \([(A,[B,C]), (B,C)]= ([A,(B,C)],[B, C])\) für irgend drei \(A, B, C\) (“duale” Form).
In naheliegender Analogie zu Begriffen der Gruppentheorie werden Homomorphismus and Isomorphismus in Beziehung auf Kompositum oder Durchschnitt oder beide (Homomorphismus bzw. Isomorphismus schlechthin) erklärt. Beide Arten von Homomorphismen erhalten die \(( <, >)\)-Beziehungen.
Teilstruktur zwischen \(A\) und \(B\) einer Struktur heißt die Gesamtheit aller \(C\) der Struktur, für die \(A\leq C\leq B\) bzw. \(A\geq C\geq B\) gilt, sie wird mit \(B/A\) bzw. \(A/B\) bezeichnet. Für Dedekindsche Struktur gilt der Satz: Es ist \(A/(A,B)\) isomorph (schlechthin) zu \([A,B]/B\) für irgend zwei Elemente \(A, B\) der Struktur. Man sieht, daß die Theorie der Dedekindschen Strukturen eine Axiomatisierung der Schlußweise des Jordan-Hölderschen Satzes bezweckt. Eine weitere wichtige Begriffsbildung ist die der Quotientenstrukturen. Es bezeichne jetzt \(A/B\) nicht mehr die Struktur aller Elemente der gegebenen Struktur zwischen \(A\) und \(B\), sondern lediglich ein Symbol, das für irgend zwei \(A, B\) mit \(A\geq B\) aus der gegebenen Struktur gebildet wird. Die Menge dieser “Quotienten” wird zu einer Struktur, indem \(A/B\geq A_1/B_1\) gesetzt wird, wenn \(A > A_1\) und \(B\geq B_1\) und indem Durchschnitt and Kompositum durch \[ \begin{aligned}[c] (A/B, A_1/B_1) &=(A,A_1)/(B,B_1) \\ [A/B, A_1/B_1] &= [A,A_1]/[B,B_1]\end{aligned} \]
erklärt werden. In den meisten wichtigen Strukturen gibt es ein Einselement \(E_0\) mit der Eigenschaft \((A, E_0) = E_0\) für alle \(A\) und ein Allelement \(O_0\) mit \([A, O_0] = O_0\) für alle \(A\). Hat eine Struktur ein Einselement \(E_0\), so ist in der zugehörigen Quotientenstruktur die mit der ursprünglichen isomorphe Teilstruktur aller \(A/E_0\) enthalten. Endlichkeitsbedingungen und Dedekindsches Axiom übertragen sich unmittelbar von einer Struktur auf die Quotientenstruktur. Ein Element \(A\) heißt prim über \(B\), wenn \(A > B\) ist, aber kein Element zwischen \(A\) and \(B\) existiert. Ein Quotient \(\mathfrak A = A/B\) ist prim über \(\mathfrak B = C/D\), wenn entweder \(A\) prim ist über \(C\) und \(B = D\) oder \(A = C\) and \(B\) prim über \(D\). Die Quotienten \(A/A\) heißen Einsquotienten. Zwei Quotienten \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) heißen relativ prim, wenn \((\mathfrak A, \mathfrak B)\) ein Einsquotient ist. Durch \(A/B\times B/C = A/C\) wird für gewisse Quotientenpaare ein Produkt erklärt, je zwei der vorkommenden Quotienten bestimmen den dritten eindeutig, es ist daher auch sinnvoll, statt \(\mathfrak A\times\mathfrak B= \mathfrak C\mathfrak B= \mathfrak A^{-1}\times \mathfrak C\) und \(\mathfrak A=\mathfrak C\times\mathfrak B^{-1}\) zu schreiben. Nun wird durch \(\mathfrak C\mathfrak A\mathfrak C^{-1} = [\mathfrak A, \mathfrak C] \times \mathfrak C^{-1}= [A, C]/C\) für zwei Quotienten \(\mathfrak A =A/B\) and \(\mathfrak C = C/B\) mit dem gleichen Nenner die Transformierte von \(\mathfrak A\) mit \(\mathfrak C\) erklärt. Sind \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak C\) relative prim, so heißt \(\mathfrak A' = \mathfrak C\mathfrak A\mathfrak C^{-1}\) ähnlich zu \(\mathfrak A\). Man kann nun den Umstand, daß sich zu zwei Elementen \(A, B\) einer Dedekindschen Struktur eine Kette \(A > A_1 > A_2 > \dots > A_r = B\) finden läßt, wo \(A_i\) über \(A_{i+1}\) prim ist, auch so ausdrücken, daß der Quotient \(A/B\) als Produkt von \(r\) primen Quotienten geschrieben werden kann \[ A/B= \mathfrak P_1\times \mathfrak P_2\times\dots\times\mathfrak P_r. \] Es gilt dann der Jordan-Höldersche Satz, daß jede andere solche Produktdarstellung gleich viel Primfaktoren hat, die in passender Ordnung mit den Faktoren der ersten Zerlegung ähnlich sind. Allgemeiner gilt das Analogon eines Satzes von Schreier, daß sich in einer Dedekindschen Struktur zwei gleiche Produkte \[ \mathfrak A_1\times\dots\times\mathfrak A_r = \mathfrak B_1\times\dots\times\mathfrak B_s \] durch weitere Zerlegung der einzelnen Faktoren so verfeinert werden können, daß auf beiden Seiten gleich viel Faktoren stehen, die bei passender Ordnung paarweise ähnlich sind.
Reviewer: Deuring (Leipzig)

MSC:

08-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to general algebraic systems
08A02 Relational systems, laws of composition
08A05 Structure theory of algebraic structures
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