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Sur les décompositions des fonctions analytiques uniformes et sur leurs applications. (French) Zbl 0012.26204


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References:

[1] Pour les détails comp. E. Picard, Traité d’analyse, t. II, p. 160.
[2] Il y a lieu à noter ici encore des décompositions importantes mais d’un genre spécial obtenues par différents mathématiciens, p. ex. les décompositions des fonctions fuchsiennes en fonction zethafuchsiennes trouvées par Poincaré. A ce sujet comp. P. Appell, Sur la décomp. d’une fonc. mérom. en éléments simples, Mémorial Sc. Math., t. XXXVI.
[3] Comp. p. ex. E. Picard, Comptes Rendus, t. 92, 1881.
[4] Des cas particuliers de ce théorème ont été démontré par M. Fréchet, notamment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où l’un des ensemblesF 1,F 2 est une somme d’une suite dénombrable d’ensembles isolés et l’autre est égal à la fermeture du reste de l’ensembleF.
[5] Am. Journ. of Math., t. 14, 1892.
[6] Comp. N. Aronszajn, Comp. Rend. 194, p. 155; 196, p. 521; 196, p. 672.
[7] Il s’agit ici principalement de l’application aux fonctions analytiques multiformes dont certains résultats ont été énoncés (dans une forme assez imprécise d’ailleurs) dans la note des Comp. Rend. 196, p. 672. L’exposé précis de ces résultats (qui paraîtra ailleurs) nécessite tout un paragraphe préliminaire sur les singularités des fonctions analytiques multiformes.
[8] Ces fonctions sont donc localement analytiques. Signalons que recemment, M. L. Fantappie (dans Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver., t. 43, 1933) a été amené, par des considérations tout à fait différentes, à considérer des fonctions du même genre.
[9] Nous donnons ici,à titre exceptionnel, le nom de domaine à un ensemble ouvert qui peut ne pas être connexe. Dans tous les autres cas nous appellerons domaine un ensemble ouvert etconnexe.
[10] C. à d. son développement de Taylor dans un cercle ou, ce qui revient au même, ses valeurs dans ce cercle.
[11] D peut être ici un ensemble ouvert quelconque.
[12] Dans le cas oùF 1 est la fermetureĒ d’une sommeE d’ensembles isolés dansF (c. à. d. fermés ainsi que leurs compléments dansF) etF 2=F, ce théorème a déjà été démontré par M. Fréchet dans le mémoire cité, Acta math., 54, p. 54.
[13] Comp. M. Fréchet, l. c., notamment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où l’un des ensemblesF 1,F 2 est une somme d’une suite dénombrable d’ensembles isolés et l’autre est égal à la fermeture du reste de l’ensembleF. p. 45.
[14] Nous appellerons ainsi un point deL qui n’est une extrémité d’aucun arc deL.
[15] La possibilité de la construction des o L x ’ etL x ” suffit pour la valabilité de nos considérations. Même pour les ensemblesG possédant des frontières beaucoup plus compliquées que celles envisagées dans le texte nos considérations restent valables pourvu que lesL x ’ etL x ” existent.
[16] Remarquons que de la convergence des n vers en dehors deF 1, ne résulte en général que la convergence uniforme desf n en dehors deF 2+F 1=F. Il faut done démontrer que dans notre cas les fonctionsf n sont convergentes même surF 1 2.
[17] Comp. M. Fréchet, l. c., notemment les cas oùF 1 etF 2 sont isolés et celui où des ensemblesF 1,F 2 est une somme d’une suite dénombrable d’ensembles isolés et J’autre est égal à la fermeture du reste de l’ensembleF.
[18] D’ailleurs l’existence de {\(\tau\)} n (itz) ressort directement du théorème de Runge dans la forme que nous lui donnons dans le § suivant.
[19] Carf n est holomorphe surF 1, comp. plus haut p. 20 les propriétés de {\(\psi\)} n .
[20] Mais leurs fermetures peuvent avoir des points communs, \(\bar M \cdot \bar N\) o.
[21] La théorie générale des séparateurs a été développée par M. Kuratowski dans Fund. Math. XII p. 217. Nous nous éloignons un peu, dans quelques details sans importance, des définitions primitives de M. Kuratowski.
[22] Si \(\bar M \cdot \bar N\) = o, la régularité deS consiste en ce qu’il se décompose (tout entier) en un nombre fini de courbes simples fermées, disjointes et rectifiables.
[23] c. à d. des ensembles homéomorphes avec une droite illimitée dans les deux directions.
[24] Dans le cas général il faut se rapporter à la note sous texte p. 15. Mais le plus souvent le séparateur sera formé d’un nombre fini de courbes fermées et alors le lemme s’appliquera dans son énoncé du texte.
[25] Remarquons ici qu’il n’est pas du tout nécessaire de choisirL n=L n. Tout marcherait aussi bien, si seulement les formules (20) et (21) restaient valables et si lesL n se composaient chacun d’un nombre fini d’ares on courbes fermées.
[26] C. à d. qu’il peut être couvert par des cercles avec des rayons formant une somme aussi petite que l’on veut.
[27] Ceci reste vrai si l’on supposeF 1{\(\cdot\)}F 2 composé d’un nombre fini de points et si l’on prend pourf(z) les conditions plus larges suivantes: pourz situé entreL’ etL” on a |f(z)|<m((z)), où (z) est la plus courte distance entrez etF 1{\(\cdot\)}F 2, etm() est une fonction positive pour >0, telle que \(\mathop {\lim }\limits_{\varrho \to 0} \varrho m(\varrho ) = o. P. ex. m(\varrho ) = \varrho ^\alpha \left( {\log \frac{c}{\varrho }} \right)\beta avec \alpha > - I\) . Comp. la note I à la fin du mémoire.
[28] Si l’on choisit seulement un sens convenable sur la frontière de chaque domaine en question.
[29] Cette méthode a été déjà utilisée par Poincaré dans Am. Journ. of Math. t. 14, 1892, p. 213 dans un cas simple où l’ensemble singulierF était l’axe réel etF 1=[1; +1],F 2=[; ]+[1; +
[30] Remarquons que dans l’exposé de la méthode, on admettait pourg(z) des points singuliers dansG aussi, mais nous allons voir queg(x) peut être choisie de manière qu’elle n’en ait que dansF 1{\(\cdot\)}F 2.
[31] Fixons une fois pour toutes que l’expression “en dehors deE{” veut díre: dans l’ensemble complémentaire deE (par rapport au plan), tandis que “à l’extérieur deE{” signifle: dans l’ensemble complémentaire de lafermeture \(\bar E\) de l’ensembleE.}}
[32] Notre énoncé est, à quelque chose près, le même que celui qu’on trouve dans le mémoire de Runge, Acta math., 6, 1885.
[33] Rappelons ici qu’un composant d’un ensembleE est un sous-ensemble connexe deE tel qu’il n’existe aucun autre sous-ensemble deE, plus grand, qui soit également connexe.
[34] Cette petite généralisation par rapport à l’énoncé précédent se justifie par le fait que l’ensembleF (voir la suite de l’énoncé) peut être enfermé dans un ensembleB 1 <B satisfaisant aux conditions de l’énoncé précédent et on pourra chercher l’approximation en dehors deB 1.
[35] L’ensembleA est appelé localement connexe, s’il contient pour chacun de ses points des voisinages (relatifs àA) connexes et aussi petits que l’on veut.
[36] Il est évident que la relation \(\bar U_{n + 1}< U_n \) n’est pas vraie.
[37] Pourm=0 le premier terme de la série sera (f 1 1).
[38] On utilise ici les relationsf=f 1+f 1 0 ,f n 0 =f n +1+f n+1 0 qui entraînent: \(f = (f_1 + f_2 + \cdot \cdot \cdot + f_m ) + f_m^0 .\)
[39] Comp., p. ex., J. Hadamard, Thèse, Paris, 1892, la troisième partie surtout.
[40] E(x) désigne pourx réel le plus grand entier ,
[41] Comp. Bull. Soc. Math., t. LX, 1932.
[42] Dans le cas d’un arc simple rectifiable ceci a déjà été démontré par Painlevé (voir la démonstration p. ex. dans le mémoire cité de M. Denjoy, p. 34–35). Dans le cas d’un ensemble quelconque de mesure linéaire finie on le démontre d’une manière analogue.
[43] C’est sous cette forme générale que le problème m’a été posé par M. Fréchet.
[44] Rappelons que nous considérons constamment l’infini comme appartenant au plan, donc un ensemble fermé non borné renferme tonjours l’infini.
[45] Je traduis ainsi les termes allemands “Mengentheoretische Topologie{” et “Mengentheoretische Geometrie{”, ce dernier introduit par M. Menger.}}
[46] QuandF appartiendra à une de ces classes p. ex. à \(\operatorname{Re} _1 \) , on pourra poserF 1=F etF 2=o. Il sera donc utile d’admettre que {\(\Phi\)} ensemble vide appartient à chacune de ces classes.
[47] C. à d. queE est l’ensemble commun deK 1 et d’un ensemble ouvert du plan, ou bien, ce qui revient au même, que \(E \cdot \overline {K_1 - E} = o.\)
[48] Cette décompositionF=F 1 +F 2 est tout à fait analogue à celle utilisée par M. Fréchet dans des cas particuliers.
[49] Ceci est vrai sans exception pour les propriétés (P) absolues mais ne l’est plus pour certaines propriétés (P) relatives. Dans tous les cas, cela restera vrai pour les propriétés (P) relatives considérées dans la suite.
[50] l. c. Ceci est vrai sans exception pour les propriétés (P) absolues mais ne l’est plus pour certaines propriétés (P) relatives. Dans tous les cas, cela restera vrai pour les propriétés (P) relatives considérées dans la suite. p. 75.
[51] Nous appelons continu nu ensemble connexe et compact en soi qui ne se réduit pas à un seul point. L’ensemble composé d’un seul point sera parfois appelé continu dégénéré. Dans le plan complexe (avec le point à l’infini) les continus coïncident avec la classe des ensembles connexes et fermés.
[52] l. c. Nous appelons continu un ensemble connexe et compact en soi qui ne se réduit pas à un seul point. L’ensemble composé d’un seul point sera parfois appelé continu dégénéré. Dans le plan complexe (avec le point à l’infini) les continus coïncident avec la classe des ensembles connexes et fermés. p. 77.
[53] D’après la terminologie de M. Fréchet, isolé dansE veut dire fermé et relativement ouvert dansE.
[54] l. c. D’après la terminologie de M. Fréchet, isolé dansE veut dire fermé et relativement ouvert dansE. p. 72.
[55] Comp. Aronszajn, Comptes Rendus Ac. Sc. 193, 1931, p. 1381.
[56] On considérera le diamètre sur la sphère de Riemann.
[57] Ou plutot jusqu’à 2.
[58] Si l’on considère un point comme continu (degénéré).
[59] Nous prenons ici la mesure superficielle de Lebesgue. On pourrait obtenir des décompositions analogues à celle qui s’ensuit dans le texte en considérant la mesure linéaire ou, plus généralement les mesures des dimensions non-entières de M. Hausdorff.
[60] Comp. Fréchet, l. c., notamment les cas ouF 1 etF 2 sont isolés et celui où des ensemblesF 1,F 2 est une somme d’une suite dénombrable d’ensembles isolés et l’autre est égal à la fermeture du reste de l’ensembleF, p. 42.
[61] QuandH est isolé dansF, \(\bar H - H = o\) , et deux parties principales ne différent que par une constante. On choisit d’habitude parmi ces parties principales celle qui s’annule à l’infini (quandH est borné). Cette convention, sans importance, distingue un point spécial dans le plan, ce qui n’est pas dans l’esprit de nos recherches générales. En principe nous ne la ferons pas.
[62] C. à d. l’ensemble des points limites de toutes les suites {x n} avecx n appartenant àH n. Cet ensemble limite est donné par la formule: \(L = \overline {\sum\limits_1^\infty {Hn} } \cdot \overline {\sum\limits_2^\infty {Hn} } \cdot \overline {\sum\limits_3^\infty {Hn} } \cdot \cdot \cdot \) . Il peut être encore défini par la propriété qu’il est le plus petit ensemble dont tout voisinage contient tous lesH n, à partir d’un certain rangn 0.
[63] Dans notre note des Comptes Rendus, 196, 1933, p. 521 la formule donnant la décomposition correspondante n’est pas exacte; il y manque de termes correctifs.
[64] Donc si l’on prend p. ex. \(f(z) = \frac{I}{{I - z}}\) pour |z|<1 et \(f(z) = I + \frac{I}{{I - z}}\) pour |z|>1, le point 1 ne sera pas un pôle pourf(z), car il n’est pas isolé dans l’ensemble singulier def(z).
[65] On pourrait être tenté d’employer plutôt la dérivée logarithmique def(z): ceci présente pourtant l’inconvénient que la décomposition de cette dérivèe log. en somme n’est déterminée qu’à une fonction près qui, en général, pourrait avoir une intégrale indéfinie avec des périodes non multiples de 2{\(\pi\)}i ce qui pourrait entrainer que les composantes de la dérivée log. def(z) ne seraient pas des dérivées log. de fonctionsf 1(z) etf 2(z) hol. etuniformes.
[66] L’existence d’un tel système de coupures sera démontrée dans la note II à la fin du mémoire. Il nous suffirait évidemment pour nos buts d’utiliser des coupures d’un genre plus général. L’existence des coupures du genre décrit dans le texte, nous parait pourtant assez intéressante en soi-même pour valoir la peine d’être démontrée.
[67] Sit est choisi d’avance mais en dehors de tous les segmentsL en question, on pourra toujours choisirV assez étroit etC assez petit pour quet reste en dehors deV etC.
[68] L’analyse de ces cas exceptionnels sera donnée dans un instant.
[69] Ceci justifie donc la désignation de {\(\sigma\)} indifféremment par {\(\sigma\)}({\(\Phi\)} 1,f) et {\(\sigma\)}(G, f).
[70] On le vérifie par un simple calcul que nous omettons ici.
[71] {\(\Phi\)} 1) veut dire l’ensemble{\(\Phi\)} 1 diminué de l’ensemble () formé par un seul point .
[72] Remarquons que \(\bar H - H\) ne renferme jamais ni pôles, ni zéros def(z).
[73] L’exposé que nous donnons ne renferme pas de résultats essentiellement nouveaux. C’est pourquoi nous avons cru inutile d’y préciser les démonstrations. Il diffère d’autres exposés sur un sujet semblable (comp. G. Valiron, Annali Scuola Norm. di Pisa, Série II, vol. II 1933 et Vl. Bernstein, Reale Accademia d’Italia, 1933, p. 339) surtout par la manière de présenter les choses que nous jugeons plus commode pour nos buts.
[74] Sauf certaines considérations particulières concernant la transformation obtenue avecM({\(\alpha\)})=e et où laP-transformée se montre plus commode que laB-transformée.
[75] C. à d. qu’avec un pointz, il renferme tout le segment demi-ouvert (o;z].
[76] En général: l’ensembleE est étoile contré en s’il renferme avec un point e i{\(\psi\)} toute la demi-droitere i{\(\psi\)} ,r.
[77] Cet ensemble commun peut n’être ni fermé, ni ouvert. La frontière d’un tel ensembleA est définie comme l’ensemble \(\bar A \cdot \overline {P - A,} \) oùP désigne le plan entier.
[78] Remarquons que pour que le domaineC(1,R) existe (c. à d. ne soit pas vide) il est nécessaire qu’il existe une constante telle que \(\overline {\mathop {\lim }\limits_{\alpha = \infty } } e^{\alpha ^\varrho } M(\alpha ) > o\) .
[79] Remarquons que 1 peut se trouver à l’intérieur de \(\bar D_1 (I)\) .
[80] Il est à remarquer qu’alors la fonctionk({\(\theta\)})=k 1({\(\theta\)}) est continue,k({\(\theta\)}) etk 1({\(\theta\)}) étant sémicontinues, l’une supérieurement et l’autre inférieurement (car leurs inverses forment les équations des frontières des domaines étoilésD(1) etC(1), le premier centré en l’origine et le second centré en .
[81] On ne sait pas encore s’il est possible que cette condition soit remplie sans quek({\(\theta\)}) coïncide avec une fonction \(\left( {\cos \varrho \theta } \right)^{\frac{1}{\varrho }} \) pour un >o.
[82] c. à. d. tel qu’il n’existe aucun domaine plus grand satisfaisant aux mêmes conditions.
[83] On utilise ici le fait que si les fonctionsf n (z) convergent univformément versf(z) en dehors d’un cercle, les fonctions{\(\Phi\)} n (z) correspondant àf n (z) tendent uniformément dans tout domaine borné, vers la fonction {\(\Phi\)}(z) correspondant àf(z).
[84] ou, plus précisément, on peut définirf(z) à l’intérieur de son ensembleD conformément à nos conventions, de manière quep n’appartienne pas à l’ensemble singulier def(z). Dans les cas dégénérés, quandI forme un seul segment rectiligne il faut pour cela admettre pourf(z) des coupures sortant de l’ensembleD def(z), ce qui entraine quelques petits changements dans les raisonnements.
[85] Dans notre note des comptes Rendus, 196, 1933, p. 673 nous avons donné par inadvertance cette dernière condition comme répondant au problème résolu dans l’énoncé précédent.
[86] Nous appellerons ici bande (infinie) un domaine simplement connexe s’étendant jusqu’à l’infini avec une frontière composée d’une ou deux courbes simples fermées passant par l’infini. Nous ne considèrerons que des bandes suffisamment étroites dans ce sens que la distance d’un pointz de cette bande à la frontière de celle-ci est bornée, on même tend vers 0, quandzs’éloigne vers l’infini.
[87] Comp. L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionenthéorie II, 1931, p. 278. Cette définition provient des idées de Hurwitz, Iversen et Gross.
[88] Les premiers exemples de ce genre sont connus depuis les travaux de Mittag-Leffler datant de 1904. Des classes plus générales de tels exemples ont été construites par H. Bohr comp. Comptes Rend. Ac. Sc., t. 189, 1929, p. 826.
[89] Des définitions du même genre ont été introduites et étudiées par M. Valiron.
[90] La question, si cette condition est aussi suffisante, n’est pas encore résolue.
[91] Notamment{\(\Phi\)} 1(z) tend vers O avec 1/z à l’extérieur deD et possède la même allure que {\(\Phi\)}(z) dansD, à l’exception d’un voisinage angulaire quelconque deC. Pour cette dernière notion, comp. la note I où se trouvent des développements en rapport direct avec ceux que nous faisons maintenant.
[92] En vertu de ({\(\alpha\)}) et ({\(\gamma\)}), on peut démontrer qu’il existe un {\(\nu\)}>0 pour lequel ({\(\alpha\)}’) est vrai.
[93] Ainsi qu’àD 0 +{\(\Delta\)} 1 0 +{\(\Delta\)} 2 0 et en général à tous les angles entreD 0 etD, car ils ne diffèrent deux à deux que par des angles où {\(\Phi\)}(z) est d’allure regulière.
[94] c. à d. les angles ouverts qui ne renferment que des directions régulières pour {\(\Phi\)}(z) et qui ont un coté dans{\(\Psi\)} 1 et l’autre dans{\(\Psi\)} 2. On voit immédiatement qu’il n’y a qu’un nombre fini et pair de tels angles (autrement{\(\Psi\)} 1 et{\(\Psi\)} 2 auraient une direction commune) et que les angles complémentaires de ceux-là ne renferment alternativement (dans l’ordre circulaire) aucun point de{\(\Psi\)} 1 ou de{\(\Psi\)} 2.
[95] Dans une note parue dans Proc. Nat. Ac., t. 20, 1934, p. 211.
[96] Comp. nos conventions sur les fonctions holom. et unif. dans § 1 de la 1re partie.
[97] Les conditions nécessaires et suffisantes sont loin d’être connues.
[98] Moyennant certaines conventions, on pourrait ajouter le point à l’infini au domaine fondamental dans le cas d’un ordre fini, mais ceci ne présente pour nous aucune importance.
[99] Ceci résulte du fait général que pour une fonction analytiquef(Z) den variables complexesz 1,...,z n, régulière au pointZ=X, on a \(\left| {\Delta ^p f(X)} \right| \leqslant (2p)! n^p \frac{{M(r)}}{{\left( {2\pi } \right)^n r^{2p} }}\) , oùM(r) désigne le maximum du module def(Z) dans le polycylindre (de l’espace complexe): |z nn| .
[100] Dans le cas den pair on aurait, dans les développements qui vont suivre, des termes (à partir d’un certain indice) renfermant des logarithmes, ce qui allongerait les formules et les rendrait dissymétriques (sans toutefois compliquer essentiellement les raissonnements).
[101] Pour les fonctionsVm 1 (s) ,...,m n comp. P. Appell et J. Kampé de Feriet, Fonct. hypergéométriques et hypersphériques, Paris, 1926, p. 249.
[102] C. à d. par la transformation d’une série n en la série p u n
[103] On pose ici{\(\Delta\)} 0 f =f.
[104] Ce dernier fait s’obtient par le procédé classique en excluant deV une petite sphère de centreX et en faisant tendre son rayon vers o.
[105] Remarquons que pour les fonctions harmoniques habituelles, les parties principales et les décompositions dans le cas des points singuliers isolés, ont été déjà envisagées par P. Appell, Mémorial Sc. Math., t. XXXVI p. 32.
[106] Comme nous avons déjà remarqué, nous n’utiliserons que des hypersurfaces composées d’un nombre fini de morceaux des hypersurfaces sphériques. Nous supposerons que les contours de ces morceaux sont également formés par un nombre fini des hypersurfaces sphériques (n). dimensionnelles. Dans ces conditions nous pourrons facilement trouver par des constructions géométriques toutes les hypersurfaces auxiliaires nécessaires pour la démonstration.
[107] Ceci est imposé à cause des conditions de convergence des séries (7) et (11).
[108] Le radical provient de l’inégalité: \(\left| {\frac{{\partial f}}{{\partial n}}} \right| \leqslant \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x_k }}} \right)^2 .} } \)
[109] Longueur deL=somme des longueurs de tous les arcs deL=mesure linéaire deL.
[110] On utilise pour cela le fait général que la surface couverte par des cercles de rayon et centrés aux points d’une courbe fermée de longueurl, est toujours l. Pour un arc de longueurl on aura la même inégalité si l’on prend la partie de la surface, comprise dans un angle (quelconque) dont les cotés passent par les extrémités de l’arc.
[111] Pour la fonction monotonem() la condition (4) entraine: \(\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon = 0} \varepsilon m(\varepsilon ) = o\) .
[112] Car cette différence présente l’intégrale de Cauchy étendue sur les ares de la frontière \(\mathfrak{F}\) (D) qui passent en dehors de l’ensemble singulierF def(z). La somme de ces arcs forme exactementL+L o et pour de tels arcs on peut généraliser le lemme du § 2, si seulement la fonction y est absolument sommable.
[113] Cette dernière relation provient du fait queG o par hypothèse et que chaque composant deU o contient des points deL o intérieurs àG Conc, s’il contenait encore de points en dehors deG, il devrait sûrement traverserL ce qui est impossible.
[114] Car, d’une part, {\(\psi\)} n’aurait que le seul point singuliera. D’autre part |{\(\psi\)}(x)| =|f 1(x)1 (x)| < 2M(r) pourx à l’extérlenr deG, et |{\(\psi\)}(x)| =|f 2(x)2 (x)| < 2M(r) pourx dansG, done |{\(\psi\)}(x)| < 2M(r) pourx. Mais d’après (4) et (7) on trouve facilement queM(r){\(\cdot\)}r tend vers o avecr, par conséquent |x| |{\(\psi\)}(x)| tend vers o quandx s’approche dea d’une manière quelconque et o ne peut pas être un point singulier isolé de {\(\psi\)} (x). Celle-ci n’ayant pas d’autres singularités, se réduit à une constante.
[115] L’équivalenceM(r)(r) veut dire que pourr volsin de o, \(o< A< \frac{{M(r)}}{{m(r)}}< B< \infty \) , avecA etB indépendants der.
[116] Pour {\(\alpha\)}=1, on aura \(C_2 \log \frac{1}{{r_2 }}\) au lieu de \(C_2 r_2^{\alpha - 1} \) .
[117] Rappelons que l’ensemble {\(\Phi\)} est supposé borné.
[118] c. à d. situés dans deux régions différentes déterminées par{\(\Phi\)} 1 dans le plan.
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