On the structure of abstract algebras. (English) Zbl 0013.00105

Birkhoff, Garrett

Proc. Camb. Philos. Soc. 31, 433-454 (1935).

Es wird die Theorie der früher vom Autor eingeführten abstrakten Algebren (vgl. [Proc. Camb. Philos. Soc. 29, 441–464 (1933; Zbl 0007.39502)]) weitergeführt. Mit jeder Algebra sind verknüpft: die Gruppe aller Automorphismen (und jede abstrakte Gruppe läßt sich in dieser Weise darstellen), das Gitter (lattice) aller Teilalgebren (und jedes abstrakte Gitter kann so dargestellt werden), das Gitter (bei geeigneter Definition von Durchschnitt und Vereinigung) der Äquivalenzrelationen und das Teilgitter der homomorphen Äquivalenzrelationen; diese zugehörigen Gruppen und Gitter sind wieder Algebren, und mit ihnen sind also entsprechende Gruppen und Gitter verknüpft usw., und in allen diesen induzieren die Automorphismen der Ausgangsalgebra wieder Automorphismen, die eine zur Automorphismengruppe der Ausgangsalgebra homomorphe Gruppe bilden. Jedes Gitter von Untergruppen einer Gruppe ist isomorph einem Gitter von Äquivalenzrelationen und umgekehrt jedes Äquivalenzrelationengitter so darstellbar. Aus der Gruppentheorie geläufige Begriffe wie direktes und meromorphes Produkt, freie Gruppe, Darstellung einer Gruppe durch Erzeugende und Relationen oder als Faktorgruppe einer freien Gruppe und der Zusammenhang dieser beiden Darstellungsweisen, weiter die aus der Mengenlehre stammenden oberen und unteren Grenzen sowie Limiten von Mengenfolgen werden auf beliebige abstrakte Algebren verallgemeinert.

Reviewer: Reinhold Baer (Princeton, N. J.)

MSC:

08A05	Structure theory of algebraic structures
08A02	Relational systems, laws of composition
08A35	Automorphisms and endomorphisms of algebraic structures
06B05	Structure theory of lattices

Keywords:

abstract algebras; automorphism groups; equivalence relation; lattice of subalgebras; lattice of subgroups