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Unique analytic functions. (Eindeutige analytische Funktionen.) (German) Zbl 0014.16304
Dans cet ouvrage, l’eminent analyste d’Helsingfors expose une partie des beaux resultats obtenus ces dernières années par lui, ses élèves et quelques autres, dans l’étude de la distribution circulaire des valeurs (ou des éléments superficiels) prises par les fonctions uniformes \(w = w(z)\) dont le domaine naturel d’existence est simplement connexe. \(w\) décrit une surface de Riemann \(S\), simplement connege, ouverte dès que \(w(z)\) n’est pas une fraction rationnelle. L’auteur porte son attention sur les propriétés de \(S\), plus qu’on ne Pavait fait jusqu’ici dans les ouvrages consacrés à cette théorie. Ses remarquables travaug sur les fonctions méromorphes qui l’ont conduit à une conception nouvelle de la notion de valeur exceptionnelle, celle de défaut, l’ont amené à construire des classes de fonctions admettant des valeurs dont la somme des défauts atteint le maximum \(2\). Ses recherches et celles de ses élèves furent ainsi orientées dans des directions nouvelles: étude des fonctions pour lesquelles les singularités de \(S\) sont en nombre fini; comparaison de la relation des défauts et de la formule de Riemann donnaut la ramification moyenne d’une surface \(S\) fermée, formation de criteres permettant de reconnaitre si une surface S ouverte est du type parabolique (représentable conformément sur le plan simple pointé) ou hyperbolique (représentable sur un cercle de rayon fini). Les succès obtenus dans cette dernière voie, les difficultes quelle presente encore, ont conduit l’auteur à donner à cette recherche des critères de type la place centrale dans cet exposé. C’est vers ce but que tont converge et c’est ce qui explique le plan de l’ouvrage et le choix des matières esposées et aussi que ce livre dans lequel l’auteur ne presente que des questions qu’il a fortement marquées de son empreinte et donne pour la premiére fois en details sa théorie de la mesure harmonique soit tout à la fois didactique et profondement original. Voici le contenu des chapitres:
I. Transformation conforme d’un cercle en, lui-même; ses invariants; premiere introduction de la mesure harmonique. Enoncés généraux sur la représentation conforme; cas des surfaces de Riemann \(S\). Définition de la surface universelle de recouvrement d’un domaine multiplement connexe. Surfaces \(S\) admettant seulement \(p\) singularités logarithmiques (fonctions modulaire et automorphes).
II. Integrale de Poisson et resolution du probleme de Dirichlet pour le cercle unité \(\Gamma\): Mesure harmonique d’un arc de \(\Gamma\) en un point interieur (c’est la valeur en ce point de la fonction harmonique bornée egale à 1 sur cet arc et à 0 sur le reste de \(\Gamma\)). Definition generale de la mesure harmonique d’un arc d’un contour au moyen de la fonction harmonique; lignes d’egale mesure harmonique.
III. Invariance de la mesure harmonique dass la rep. conforme. Méthode de la mesure harmonique (c’est à’dire comparaison des mesures harmoniques en deux points correspondants de deux domaines deduits l’un de l’autre par une transformation analytique uniforme).
Applications: th. des deux constantes de Nevanlinna-Ostrowski, th. des trois cercles d’Hadamard, th. de Phragmen–Lindelöf. Principe de la mesure hyperbolique (augmentation des longueurs non euclidiennes dans les transformations analytiques uniformes) contenant le principe de Lindelöf. Application à la representation conforme (th. de Löwner, th. de la derivée angulaire), à la demonstration des th. de Schottky et Landau, à l’etude du domaine d’intétermination dune fonction en un point.
IV. Principe de Carleman (augmentation de la mesure harmonique par une extension convenable du domaine) fournissant un procede d’approximation de la mes. harmonique; application à l’etude de la convergence, à l’inegalite de Carleman (utilisee par cet auteur dans l’etude des valeurs asymptotiques des f. entieres). Complements au th. des deux constantes, th. nouveaux sur la mesure harmonique; th. sur la deformation dans la rep. conforme (Koebe et Ahlfors). Application à la resolution du probleme de Carleman–Milloux.
V. Ensemble de points (frontieres d’un domaine \(G\) de mesure harmonique nulle, recherche des propriétes de ces ensembles \(E\) qui sont de mes. harm. nulle indépendamment de \(G\). Constante de Robin et ensembles \(E'\) de capacite nulle. Identite des ensembles \(E\), \(E'\). Probleme de Robin et probleme de Fekete. Théorème sur le comportement dune fonction dans le voisinage des points d’un ensemble \(E\). Théorème de Boutroux–H. Cartan–Ahlfors. Propriétés métriques des ensembles de mes. harm. nulle.
VI. Fonctions méromorphes pour \(| z | < R\) (\(R\) fini ou non), premier théorème sur la fonction caracteristique \(T (r)\) de Nevanlinna (croissance, convexité) demontre par la methode de H. Cartan. Relation entre \(T(r)\) et l’indicatrice de Shimizu et Ahlfors.
VII. Fonctions méromorphes pour \(| z | < 1\) pour lesquelles \(T (r)\) est borné; ce sont les quotients de fonctions bornées. Leur représentation par deux produits de Blaschke et une intégrale de Poisson–Stieltjes. Théorèmes de Fatou et des freres Riesz. Application à l’etude de la représentation conforme de la surface universelle de recouvrement d’un domaine simple (schlicht).
VII. Fonctions méromorphes d’ordre fini. Produits canoniques; théorème sur la factorisation (Hadamard–Borel–Nevanlinna) demontré par la méthode de F. Nevanlinna. Question du genre.
IX. Théorie generale des fonctions meromorphes. Relation fondamentale entre les moyennes \(N(r, a)\) et la fonction \(T(r)\). (Dans la demonstration, l’approximation de la moyenne logarithmique \(m (r, \frac{w}{w'})\) est faite par la méthode des masses de Ahlfors.) Méthode de F. Nevanlinna.
X. Théorème de Borel-Hadamard et ses complements. Relation des d‘éfauts de R. Nevanlinna. Cas des fonctions méromorphes pour \(| z | < 1\), th. de Frostman sur les defauts des fonctions à caracteristique \(T(r)\) non bornée. Complement au th. de Valiron-Ahlfors sur la limite de \(N(r, a):T(r)\). Théorème sur les racines multiples et th. de Picard sur l’uniformisation des fonctions de genre superieur à \(1\).
XI. Etude des surfaces \(S\); singularités transcendantes directes et indirectes (Boutroux-Iversen). Théorèmes de Iversen et de Gross sur les surfaces du type parabolique. Surfaces dont les singularités se projettent en \(p\) points (Nevanlinna-Elfving), cas où il n’y a qu’un nombre fini de singularités. Application au probleme du defaut. Théorème de Denjoy-Carleman-Ahlfors sur les singularités directes des fonctions d’ordre fini.
XII. Ramxification de \(S\), sa relation avec le défaut total. Notion de ramification totale. Condition suffisante pour que \(S\) soit du type hyperbolique (Nevanlinna) ou du type parabolique (Ahlfors). Critere de Kobayashi, application au cas dun nombre fini de points de ramification.
XIII. Exposé detaille de la théorie des surfaces de recouvrement d’après Ahlfors.
Reviewer: Georges Valiron

MSC:
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable
30Exx Miscellaneous topics of analysis in the complex plane
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