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Sur les fonctions elliptiques \(p\)-adiques. (French) Zbl 0014.20201
Die Resultate der obigen Arbeit von Frl. Lutz [Zbl 0014.20102] lassen sich nach A. Weil leicht durch Uniformisierung der Kurven vom Geschlecht 1 im \(\mathfrak p\)-adischen erhalten; dies ist darum von Interesse, da eine Untersuchung elliptischer Funktionen \(\mathfrak p\)-adischer Veränderlichen noch aussteht.
Die Bezeichnungen seien die gleichen wie in der Note von É. Lutz. Wir uniformisieren \(C\) durch die \(\mathfrak p\)-adischen elliptischen Funk-tionen \(x = \varphi(u)\), \(y = \frac12 \wp'(u)\) und setzen \(t = x^{-1/2}\), \(\varphi(u) = (\wp(u))^{-1/2}\), so daß \[ \varphi'(u) = \frac{d\varphi}{du} = \sqrt{1-A\varphi^4 - B\varphi^6}, \tag{1} \] \[ du= d\varphi/\sqrt{1-A\varphi^4 - B\varphi^6}, \tag{2} \] wird. Durch \(\varphi\) drücken sich die Kurvenkoordinaten in der Form \[x = \varphi^{-2},\quad y = \varphi'/\varphi^2 \tag{3} \] aus. Setzt man \(t = \varphi(u)\), \(t' = \varphi(v)\), so besteht ein algebraisches Additionstheorem \[ \varphi(u+v)=\frac{t+t'}{\sqrt{1+\Delta(u,v)}},\quad \Delta(u,v)=\frac{2tt'\{(A+B)(t^2+tt'+t'^2)+\frac12 At^2t'^2(t+t')^2\}} {\varphi'(u) \varphi'(v) + 1 -\frac{A}{2} tt'(t^2+t'^2)- Bt^2t'3}\,. \tag{4} \]
Sei nun wieder \(p\ne 2\) und seien \(A\) und \(B\) ganz in \(k_{\mathfrak p}\). Dann konvergieren die Potenzreihen für \((1+z)^{1/2}\) und \((1+z)^{-1/2}\) nach Potenzen von \(z\) im \(\mathfrak p\)-adischen bekanntlich, wenn \(z\) durch \(\mathfrak p\) teilbar ist; die rechte Seite von (2) konvergiert also auch für durch \(\mathfrak p\) teilbares \(\varphi\); man verifiziert sogar, daß \(u\) ganz ist, falls \(p^\rho\) in \(\varphi\) aufgeht, wo \(\rho > 1/p-1\), und alsdann hat man \(u/\varphi \equiv 1(p^\alpha)\) \((\alpha = (p -1)\varphi - 1)\). Sucht man umgekehrt \(\varphi(u)\) durch (1) zu definieren, so genügt es, hierfür Majorantenreihen aufzustellen, die im \(\mathfrak p\)-adischen konvergieren. Dazu entwickeln wir die rechte Seite von (1) nach Potenzen von \(\varphi\) und differenzieren \((n-1)\)-mal; dann zeigt man rekurrent, daß \(d^n\varphi/du^n\) vermöge \(\varphi\) eine Reihe von Potenzen wird, deren sämtliche Koeffizienten Polynome in \(A, B\) sind, und daß die Zahlkoeffizienten dieser Polynome rationale Zahlen werden, deren Nenner Potenzen von \(2\) werden. Wählt man insbesondere \(u = 0\) und damit \(\varphi = 0\), so wird \(\varphi^{(n)}(0)\) ein Ausdruck \(P_n(A, B)\), der ganz \(\mathfrak p\)-adisch ist. Folglich hat die Reihe \[\varphi(u) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P_n(A,B)}{n!} u^n \] den gleichen Konvergenzradius wie die \(\mathfrak p\)-adische Exponentialfunktion und existiert insbesondere für \(u\equiv 0(p^\rho)\) mit \(\rho > 1/p - 1\). Sind ferner \(A\) und \(B\) willkürliche komplexe Zahlen mit \(4\,A^3 - 27\, B^2 \ne 0\), so definiert diese Reihe in der Umgebung von \(u = 0\) eine Lösung von (4): diese rein algebraische Eigenschaft muß offenbar im \(\mathfrak p\)-adischen bestehen bleiben.
Man schließt auf diese Weise speziell, daß für ganzes \(m\) mit \(m > e/p - 1\) eine eineindeutige Beziehung zwischen den Elementen von \(G_m\) und den Multipla \(u\) von \(\mathfrak p^m\) besteht; d. h. für \(m > e/p - 1\) ist \(G_m\) isomorph einer additiven Gruppe von Zahlen aus \(k_{\mathfrak p}\); für \(p > 5\) geben demnach die \(\mathfrak p\)-adischen elliptischen Funktionen ein Ergebnis analog dem von Frl. Lutz, nur etwas unschärfer. Man könnte versuchen, auch den Fall \(p = 2\) zu behandeln, kommt dann aber auf Konvergenzschwierigkeiten.

MSC:
11G07 Elliptic curves over local fields
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