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Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie. (German) Zbl 0015.20002
\(\Omega\) sei die Zahlenreihe \(0,1,2,\dots\); \(N=N(n)\) ihr Abschnitt \(0,1,2,\dots, n\); \(A, B, \dots\) Teilmengen von \(\Omega\); \(A+B\) sei die Menge der Zahlen, die sich in der Form \(a+b\) darstellen lassen, wo \(a\) eine Zahl von \(A\) und \(b\) eine Zahl von \(B\) ist; ähnlich wird die Summe beliebig vieler Mengen definiert; \(hA\) sei die Summe von \(h\) Mengen, deren jede gleich \(A\) ist. Die Menge \(A\) heiße eine Basis \(h\)-ter Ordnung der Menge \(\Gamma\), wenn \(\Gamma\subset hA\) ist. Verf. stellt sich nun die Aufgabe, den Elementenvorrat einer Menge zu untersuchen, die als Basis gegebener Ordnung von \(N(n)\) bzw. \(\Omega\) auftreten kann. In dieser Richtung werden mehrere Sätze bewiesen, von denen die wichtigsten die folgenden sind:
1. für jedes \(n>0\) und jedes \(h>0\) hat \(N(n)\) eine Basis \(h\)-ter Ordnung, die weniger als \(h \root h\of n\) Elemente enthält;
2. für jedes \(h>0\) hat \(\Omega\) eine Basis \(h\)-ter Ordnung, die bei jedem \(\varepsilon>0\) und genügend großem \(n\) weniger als \(n^{\tfrac1h+\varepsilon}\) Zahlen enthält, die \(n\) nicht übertreffen.
Es werden ür die erwähnten Elementenzahlen auch untere Schranken angegeben. Die Beweismethoden sind elementar.

MSC:
11B13 Additive bases, including sumsets
Keywords:
sumsets; h-basis
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Full Text: DOI EuDML